Rovnice paraboly z jejího ohniska a řídicí přímky

Tady nahoře mám zapsané vrcholové rovnice pro parabolu. V tomto případě pro parabolu se středem v počátku soustavy souřadnic, což je například tato parabola. A dnes bych vám chtěla dokázat, že tyto rovnice opravdu platí. A jak k nim dojít. Ukážeme si to tak, že využijeme k tomu definici paraboly. Vlastně vyjdeme z definice paraboly. Definice paraboly je totiž taková, že parabola je množina bodů, které mají od pevně daného bodu, tedy od ohniska paraboly, a od pevně dané přímky, tedy od řídící přímky paraboly stejnou vzdálenost. A tuto vlastnost my teď použijeme. Začneme u této takové klasické paraboly, která se otvírá nahoru, jakoby podél kladné poloosy y a ukážeme si to nejprve na ní. A potom si ukážeme i ty další tři případy, protože tady vidíme, že tu máme vlastně čtyři různé rovnice. Tak pojďme na to. Já si tady zvolím nějaký bod X, který leží na té parabole, a který bude mít nějaké souřadnice x a y. Pojďme doplnit obrázek. Tady máme ještě vrchol, ten jsem tu nezakreslila, vrchol je v počátku soustavy souřadnic, 0 a 0. To už jsme si řekli. Tady máme vzdálenost p, vzdálenost p je vzdálenost ohniska a řídící přímky paraboly. Pozor, není to vzdálenost ohniska a vrcholu nebo vrcholu a řídící přímky, ne. Je to celá vzdálenost ohniska a řídící přímky. Takže to nám teď pomůže určit souřadnice ohniska a jak je zadaná řídící přímka. Souřadnice ohniska. Ohnisko leží na ose paraboly, stejně jako vrchol, takže x-ová souřadnice bude nula. A jaká bude y-ová souřadnice? Už jsme si řekli, že toto celé je p. Vrchol leží kde? No přesně v polovině té vzdálenosti, protože jelikož leží na téhle, tak musí mít stejnou vzdálenost jak od ohniska tak od řídící přímky, takže leží přesně v polovině. Takže tohle je p lomeno dvěma a tohle je p lomeno dvěma, p polovin, p polovin. Takže tady, to ohnisko, ta y-ová souřadnice je p polovin. A jak je zadaná řídící přímka? Jak už jsem řekla, tohle to je polovina p, takže q bude zadané jako y je rovno minus p polovin. Body na parabole mají stejnou vzdálenost od ohniska i od řídící přímky. Tak to tady ještě naznačím. Takže tato vzdálenost se musí rovnat této vzdálenosti. Tuhle tu vzdálenost, to umíme, to je vzdálenost dvou bodů. To je vlastně využití Pythagorovy věty. Představím si tu pravoúhlý trojúhelník. Toto je přepona, tady budu mít dvě odvěsny. To už dávno umíme. Jak spočítáme vzdálenost přímky a bodu? Vzdálenost přímky a bodu je vlastně ta nejkratší možná vzdálenost, ta nejkratší úsečka, kterou můžu vést mezi tím bodem a tou přímkou. Takže na tu přímku vytvořím kolmici, která bude procházet tím bodem a tohle to bude ta vzdálenost. A ta kolmice bude tu přímku, tuto, protínat v nějakém bodě, my si ho můžeme zaznačit jako bod Y, abychom si tu napsali ty souřadnice, ať v tom nemáme úplně nepořádek, Y bude mít souřadnice jaké? X-ová bude stejná jako u bodu X, takže x. Jelikož, jak říkám, leží na jedné té přímce, na té kolmici, a y-ová souřadnice bude tato, minus p polovin. Teď už asi máme všechno, co potřebujeme k tomu, abychom mohli počítat s těmi vzdáleností. My víme, že toto se rovná toto, tak si to pojďme napsat. XE se z definice paraboly musí rovnat Xq, té vzdálenosti X a q. Kolik je XE? Už jsem řekla, je to využití Pythagorovy věty, sečtu druhé mocniny odvěsen. To se bude rovnat druhé mocnině přepony. Takže to tedy bude odmocnina, ať z toho dostaneme délku přepony a ne druhou mocninu přepony. Je jedno od jakého bodu ke kterému jdu, hlavně že jdu pořád stejným směrem. Takže x minus 0 to celé na druhou plus y minus p polovin to celé na druhou. A kolik je Xq? Xq, jak už jsme si ukázali, je vlastně stejné jako XY, vzdálenost bodů X a Y, když jsme si ho tu zaznačili, tak ho použijeme a to je, pozor, já tady vidím, kde je který bod v tomto případě, ale aby to bylo vždy platné, tak tady dáme absolutní hodnotu, x a x je stejné. To nás nezajímá. Takže to bude y minus minus p polovin, y minus minus p polovin. Takže toto se musí rovnat tomuto. Tak to pojďme zapsat. Odmocnina, už to můžu trošku upravit, x minus 0 nemusím psát, stačí napsat x na druhou plus y minus p polovin to celé na druhou je rovno absolutní hodnotě, taky upravím, y plus p polovin. Umocním obě dvě strany na druhou, takže se zbavím jak odmocniny, tak absolutní hodnoty, dostanou x na druhou plus y minus p polovin to celé na druhou je rovno y plus p polovin na druhou. Roznásobíme, takže tady bude x na druhou plus y na druhou minus dva krát p lomeno dvěma je p, krát y, a teď plus p na druhou lomeno čtyřmi je rovno y na druhou plus opět py, tentokrát plus p na druhou lomeno čtyřmi. Na obou stranách mám y na druhou, můžu odečíst, taktéž můžu odečíst p na druhou lomeno čtyřmi. Zůstane mi x na druhou minus py je rovno py. Přičtu py k oběma stranám, dostanu že x na druhou je rovno dvě py. Tak. A došli jsme k výsledku. Vidíme, že tady máme x na druhu je rovno dvě py. To je jedna z těch rovnic, které jsme si tady nahoře uvedli. Takže jsme si dokázali rovnici paraboly, využili jsme k tomu definici paraboly, tedy že vzdálenost jakéhokoliv bodu na parabole od ohniska i od řídící přímky musí být stejná. Výborně. Ale jak jsem řekla, je to jenom jeden z těch čtyř případů, ale teď už si to jenom zrychleně ukážeme na všech čtyřech. Vlastně je to úplně obdobné. Využijeme k tomu tady tento zápis, jenom ho vždycky mírně upravíme. Tady máme ten druhý případ té paraboly. Vrchol nemusím vyznačovat, to víme. Tentokrát to bude obráceně. Tady bylo q zadané jako y je rovno minus p polovin. Tady to máme naopak, parabola se nám otvírá ve směru záporné poloosy y směrem dolů, takže y je rovno plus p polovin. Ohnisko bude tedy zadané opět jako nula a tentokrát minus p polovin. Tady máme opět vzdálenost p zaznačenou, samozřejmě, zvolím si nějaký bod X, který bude mít souřadnice x a y. Chci opět položit rovnost mezi tuto vzdálenost a tuto vzdálenost. Tady bude zase nějaký bod Y, který bude mít tentokrát souřadnice x-ovou zase stejnou a y-ová bude tentokrát p polovin. Vidíme, že se nám v podstatě jen na některých místech vystřídala znaménka. Takže tentokrát zase XE se musí rovnat, nevím, jestli to mám ještě psát, ale klidně, XE se má rovnat Xq kdy XE je rovno odmocnině zase z x minus 0 to celé na druhou plus, a tentokrát y minus minus p lomeno dvěma, takže y plus p lomeno dvěma to celé na druhou, tady máme změnu znaménka a Xq, to je rovno XY, vzdálenost X a bodu Y x a x nás nezajímá, y minus absolutní, pozor, absolutní hodnota y tentokrát minus p polovin, p lomeno dvěma. Vidíme, vidíme, že tady máme y minus p lomeno dvěma, tady je plus, to je jediný tady rozdíl. A tady máme y plus p lomeno dvěma a tady máme y minus p lomeno dvěma. Ano, rozdíl je v tomto znaménku a v tomto znaménku. Já si tady překopíruji toto, ať to nemusím celé přepisovat, dám to tady sem. Takže jak už jsem řekla, rozdíl je jenom ve znamíncích. Rozdíl je v tom znaménku, tady bude plus a tady bude minus, takže tady bude plus tady bude minus, takže vlastně tohle je stejné. Ale tady dostanu plus a tady dostanu minus. Takže tady bude x na druhou plus py a tady bude minus py. Takže tady dostanu x na druhou je rovno minus dvě py, protože tady nebudu přičítat ale odečítat to py, abych si osamostatnila x na druhou. Takhle to bylo jednoduché. Takhle vlastně dostanu, že x na druhou je rovno minus dvě py, bylo to velice zrychleně, ale vy vidíte, že tohle už jsme si vlastně jednou psali, jenom jsme na určitých místech změnili ta znaménka. Když tak si to ještě projděte znovu pomalu, ale je to opravdu tak. Koukněte na souřadnice, zkuste dosadit, uvidíte, že vám to vyjde. Teď tu máme ještě dva případy, kdy tentokrát se nám parabola otevírá buď doleva nebo doprava. To jsou ještě další dvě rovnice. Pojďme se na to podívat. Zase si doplnit obrázek. Tentokrát je to tak, že ohnisko bude mít stejnou y-ovou souřadnici jako vrchol v bodě 0, 0, takže y-ová je 0 a x-ová je tedy p půl, p polovin, p lomeno dvěma. Vidíme tady, krásně. Q tentokrát není y je rovno něčemu, ale je to rovno, x je rovno. A je to minus p lomeno dvěma, potom si zvolím zase nějaký bod na parabole X se souřadnicemi x a y, pořád dělám to samé, já už to trošku zrychlím, zase chci položit rovnost mezi tuto vzdálenost a tuto vzdálenost podle definice paraboly. Tady si můžu zaznačit ještě nějaký bod, kde ta kolmice protíná tu přímku, který bude mít tentokrát souřadnice, y-ová je stejná, takže to bude y a x-ová bude podle té přímky minus p lomeno dvěma. Zase pořád dokola, XE, tato vzdálenost se má rovnat této vzdálenosti, Xq, kdy XE je rovno, zase využití Pythagorovy věty, to dělám pořád dokola, tak já už zrychlím, x minus p polovin to celé na druhou plus y minus 0, to celé na druhou. A kdy Xq je rovno vzdálenosti bodů X a Y. A to je rovno y a y, to nás nezajímá, x minus, zase opět absolutní hodnota, x minus minus p polovin. Výborně. Já teď udělám to samé, že si zase zkopíruji původní výpočet. Tak, co se mi tady vlastně stalo? Stalo se mi to, že tam, kde bylo x, je teď y a naopak. Vidím, že kde bylo y minus p lomeno dvěma na druhou, je teď x minus p lomeno dvěma to celé na druhou. Kde bylo x na druhou, je teď y na druhou. Obdobně tady, kde bylo y, je teď x, takže to vlastně všechno jenom přehodím, nebudu to tady všude přepisovat. Důležité je, že prostě kde je x, tam je y, takže tady bych dostala y na druhou, tady px, tady také px, takže by mi zbylo y na druhou minus px je rovno px. Kdybych přičetla to px, tak dostanu, že y, já to napíšu tady vedle, y na druhou je rovno dvě px a to je přesně třetí případ té rovnice. Takže k tomu jsme také dospěli takhle rychle, ale opět a zase, jak říkám, klidně koukněte do toho obrázku, zkuste si to v klidu sami dosadit, uvidíte, že to funguje. A ještě rychle poslední případ. Řídící přímka je zadaná jako x je rovno tentokrát plus p lomeno dvěma, ohnisko, y-ová souřadnice je nula a x-ová je minus p lomeno dvěma. Zvolím si nějaký bod X, který má souřadnice x a y, opět tato vzdálenost se má rovnat této vzdálenosti, kdy tady si můžu zapsat bod Y, který má souřadnice, y-ová je stejná jako u X a x-ová je tedy p lomeno dvěma. Mám všechno. Zase. XE se má rovnat vzdálenosti bodu X a přímky q. Vzdálenost bodu X a bodu E je zase podle Pythagorovy věty. x minus minus, takže x plus p polovin to celé na druhou plus y minus 0 to celé na druhou. A Xq, vzdálenost bodu X a přímky q, je tedy jako vzdálenost bodů X a Y a to je, y a y, to nás nezajímá. Absolutní hodnota z x minus p polovin, teď bych mohla klidně zkopírovat toto a jenom tam pozměnit ty znaménka, ale myslím si, že to už by byl dost solidní mišmaš. Takže použijeme tuto část. Opět si zkopíruji tady ten kousek, který nás zajímá. Výborně, opět a zase, co se nám tady stalo? Tady máme x na druhou, tady máme y na druhou. Tady je x plus p polovin, tady bylo y plus p polovin, takže tady bude x a tady bylo y minus p polovin, tady je x minus p polovin, takže zase tam, kde bylo y, bude x. Tam, kde bylo x, bude y. Takže tady by bylo y, x, x. Tady by tedy bylo y na druhou, px, px. Takže tady bych dostala y na druhou plus px je rovno minus px, odečetla bych px a dostanu, že y na druhou je rovno minus dvě px, což je poslední, čtvrtá rovnice. Takže teď už krásně vidíme, co znamená to znaménko plus minus před tou dvojkou v těch rovnicích a kde se nám to vlastně promítne, z jakého důvodu to tak je. Stejně tak vidíme, co nám způsobí, když máme y na druhou a ne x na druhou a čím to vlastně je. Ukázali jsme si všechny ty čtyři případy. A už jenom poslední malá poznámka. Samozřejmě jsme se bavili o parabole, která má střed v počátku soustavy souřadnic. Kdybychom chtěli parabolu, která je nějakým směrem posunuta, tak by ty vzorečky vypadaly takto, já je tady jenom uvedu, x minus m to celé na druhou je rovno plus minus dvě p krát y minus n a nebo y minus n to celé na druhou rovno plus minus 2p krát x minus m, kdy souřadnice středu jsou m a n. I tohle se dá dokázat, ale už je to poněkud složitější. Ale my to nepotřebujeme, myslím, že už jsem vás dostatečně přesvědčila, a že už teď trošku tušíte, co se skrývá za těmi rovnicemi paraboly. No a já myslím, že to už celkem stačilo.