Kuželosečky
Přihlásit se
Kuželosečky (9/13) · 11:29

Řídící přímka a vrchol paraboly - příklad Máme zadanou rovnici paraboly a chceme z ní zjistit, kde se nachází vrchol a řídící přímka této paraboly.

Navazuje na Kruhy a kružnice.
Tohle je rovnice paraboly a účelem tohoto videa je najít alternativu, objevit alternativní metodu pro hledání ohniska a řídící přímky téhle paraboly z její rovnice. Rád začínám řešením explicitně pro 'y'. Můj mozek prostě takhle zpracovává věci lépe. Takže převeďme těchhle 23/4 na pravou stranu. Musíme přičíst 23/4 k oběma stranám rovnice. A dostaneme y se rovná -1/3 krát (x minus 1) na druhou plus 23/4. Teď si pojďme připomenout, co jsme se naučili o ohniscích a řídících přímkách… Myslím, že tak se to správně (anglicky) říká. Takže ohnisko. Pokud ohnisko paraboly je v bodě [a, b] a řídící přímka… Řídící přímka… Je přímka y je rovno k. V jiných videích jsme si ukázali, s trochou algebry, že rovnice paraboly v tomhle tvaru bude y se rovná 1 děleno 2 krát (b minus k). Tohle (b minus k) je rozdíl mezi touto souřadnicí y a touto y hodnotou… Mohli bychom říct. Krát (x minus 1) na druhou plus b plus k. Omlouvám se, ne x minus 1, jsem trochu zmatený. (x minus a) na druhou (x minus a) na druhou plus (b plus k)/2. Ohnisko má souřadnice [a, b] a řídící přímka je y se rovná k a tohle bude rovnice paraboly. Tak, už jsme viděli techniku, podívejme se na jednotlivé části. Vidíme, že tohle (x minus 1) na druhou. Počkejte, udělám to jinou barvou. Tohle (x minus 1) na druhou odpovídá (x minus a) na druhou, takže 1 odpovídá a, takže takhle snadno víme, že a je rovno 1. Jen to zapíšu. 'a' se rovná 1 v tomhle příkladu přímo tady. A potom jste mohli vidět, že -1/3 tady odpovídá 1 děleno 2 krát (b minus k) a viděli byste, že 23/4 odpovídá (b plus k)/2. V prvním způsobu, který jsme se naučili jsme řekli: "Pojďme přiřadit -1/3 k téhleté věci tady a řešit pro b minus k". Neřešíme pro b nebo k, ale pro celý výraz b minus k. Takže jsme dostali 'b minus k' se rovná něco. A pak jste mohli použít 23/4 a toto k řešení 'b plus k'. Takže máme b plus k se rovná něco a máme dvě rovnice o dvou neznámých. Můžeme je vyřešit pro b a k. To, co chci udělat v tomhle videu, je objevit jinou metodu, která opravdu využívá naše znalosti o vrcholu paraboly, abychom byli schopni zjistit, kde se nachází ohnisko a řídící přímka. Pojďme se zamyslet nad vrcholem téhle paraboly. Pamatujte, že když se parabola otevírá takto nahoru, její vrchol je tenhle bod v minimu. Když se otevírá směrem dolů, vrchol je bod maxima. A tak, když se podíváte sem, vidíte, že máte -1/3 před (x minus 1) na druhou. Takže tenhle součin bude buďto 0 nebo záporný. Nepřičte se k 23/4, buď přičte 0, nebo něco odečte. Takže tahle věc dosáhne maxima, když takhle věc bude 0. Jinak bude pokaždé menší. A když tahle věc je 0, y bude rovno 23/4. Takže náš vrchol bude tenhle bod maxima… Kdy se tohle rovná 0? No když x se rovná 1. Když x se rovná 1, dostaneme (1 minus 1) na druhou. Takže 0 na druhou krát -1/3, což je 0. Když x je rovno 1, jsme na naší maximální hodnotě y, tedy 23/4, což je 5 a 3/4. Napíšu to jako… Nebo to nechám takhle. Tohle je náš vrchol, 23/4. A je to parabola, která se otevírá směrem dolů. Začnu ji kreslit. Tady máme nějakou osu. Musí být dost dlouhá, aby se na ni vešlo 5 a 3/4. Takže, tohle bude naše osa y. Tohle je osa x. Tohle je osa x. Tady bude 1. A tady bude 2. Pak chci dostat 5 a 3/4. Půjdu nahoru a uvidíme. Jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm. Můžeme je označit. Jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest a sedm. Takže náš vrchol je přímo tady, na souřadnicích [1, 23/4]. To je 5 a 3/4. Takže to bude zhruba… Zhruba tady. A jak jsme řekli, protože máme zápornou hodnotu před tímhle výrazem (x minus 1) na druhou. Mohli bychom to tak nazvat. Tahle parabola se bude otevírat dolů. Tohle bude maximum. Takže samotná parabola bude vypadat, bude vypadat nějak, nějak takhle. Bude vypadat nějak takhle. Samozřejmě to nebude perfektní, protože to kreslím ručně, ale doufám, že jsem ukázal hlavní myšlenku toho, jak bude parabola vypadat. A vlastně udělám jen část, protože ještě nemáme tolik informací o této parabole. Nakreslím to jen takhle. Ještě nevíme, kde je řídící přímka a ohnisko, ale několik věcí víme. Ohnisko se bude nacházet na stejné… Můžeme říci, na stejné hodnotě x, jako vrchol. Takže když nakreslíme přímku x je rovno 1, když x je rovno 1, víme z našich zkušeností s ohniskami, ohnisky… Že se budou nacházet na stejné přímce, jako vrchol. Takže ohnisko by mohlo být přímo tady. A potom řídící přímka bude mít stejnou vzdálenost od paraboly na druhé straně. Takže řídící přímka by mohla vypadat nějak takhle. Mohla by být někde tady. Opakuji, ještě jsem na to nepřišel, ale víme, že tenhle bod, vrchol, se nachází na parabole a podle definice musí mít stejnou vzdálenost od ohniska jako od řídící přímky. Takže. Tahle vzdálenost musí být stejná, jako tahle vzdálenost tady. A jaký je jiný pohled na tuhle celou vzdálenost? Vzpomeňte si, tahle souřadnice je [a, b] a tahle přímka znamená y je rovno k. Tohle je y je rovno k. Takže co znamená tahle žlutá vzdálenost? Jaký bude rozdíl v 'y' ? V tomto případě bychom mohli říct, že řídící přímka je nad ohniskem, takže tenhle rozdíl bude k minus b. nebo bychom mohli říct, že to je absolutní hodnota z b minus k. Tohle bude fungovat vždy. Pokaždé vám to řekne kladnou vzdálenost. Kdybychom věděli, kolik je absolutní hodnota b minus k, věděli tuhle vzdálenost a pak ji rozdělili na polovinu, řídící přímka bude polovinu této vzdálenosti nad a ohnisko bude polovinu této vzdálenosti pod vrcholem. Podívejme se, jestli to umíme vyřešit. A my to umíme vyřešit, protože vidíme, že… V téhle řekněme rovnici… Vidíme, kde je b minus k zahrnuto. 1 děleno 2 krát (b minus k) musí být rovno -1/3. Pojďme to vyřešit pro b minus k. Dostaneme 1 děleno 2 krát (b minus k) je rovno -1/3. Znovu, tohle odpovídá tomuhle. Tohle se rovná -1/3. Můžeme vzít převrácenou hodnotu obou stran a dostaneme 2 krát (b minus k) je rovno 3, je to rovno 3. Teď můžeme obě strany vydělit, obě strany vydělit dvěma. A dostaneme… Dostaneme b minus k je rovno 3/2. B minus k je rovno… Počkat tohle musí být -3, takže tohle bude -3/2. A když vezmeme absolutní hodnotu z b minus k, dostaneme +3/2. Kdybychom vzali k minus b, dostaneme také +3/2. Takže takhle snadno, použitím téhle části, vlastně jsme jenom přiřadili tuhle -1/3 k téhle části rovnice, zjistili jsme absolutní hodnotu b minus k, což je vzdálenost ve směru osy y mezi ohniskem a řídící přímkou. Takže tahle vzdálenost je 3/2. A kolik je polovina této vzdálenosti? A důvod, proč mě to zajímá je ten, že pak můžu vypočítat kde je ohnisko, protože bude polovinu té vzdálenosti pod vrcholem a mohl bych říct, že ať je tato vzdálenost jakákoli, tak bude stejná taky nad řídící přímkou. Polovina této vzdálenosti bude 1/2 krát 3/2 a to je rovno 3/4. Takto jednoduše jsme schopni zjistit, že řídící přímka bude 3/4 nad tímhle. Mohl bych říct, že řídící přímka… Dochází mi místo… Řídící přímka bude tedy 'y' se rovná 'y souřadnice' ohniska. Promiňte, y souřadnice vrcholu. Musím dávat pozor, co říkám. Bude rovno y souřadnici vrcholu plus 3/4, Tedy plus 3/4, což je rovno 26/4. A to je rovno, čemu, to je rovno 6 a 1/2. To bude tady, byl jsem docela blízko, když jsem to nakreslil… Tohle tedy bude řídící přímka y je rovno 6 a 1/2. A ohnisko, známe x souřadnici ohniska, 'a' bude rovno 1. A 'b' bude o 3/4 menší, než y souřadnice řídící přímky. 23/4 minus 3/4. Toto bude 23/4. 23/4 minus 3/4 což je 20/4, což je rovno 5. A jsme hotoví. Tohle je ohnisko [1, 5]. Řídící přímka je y je rovno 6 a 1/2.
video