Ohnisko a řídicí přímka podle rovnice paraboly

Máme tady parabolu zadanou touto rovnicí: minus tři krát y minus dvacet tři čtvrtin se rovná x minus 1 to celé na druhou. My si tu rovnici trošku upravíme a podíváme se, co z toho můžeme vyčíst o tvaru paraboly. A potom si zkusíme spočítat souřadnice ohniska, řídící přímku a pomocí toho si potom tu parabolu načrtnout. Pojďme na to. Funkci máme většinou zadanou jako y se rovná něco. Je dobré si vždy vyjádřit y z té celé rovnice, protože nám to může poskytnout nějaké nové informace, které z tohoto tvaru rozhodně nevyčteme. Tak to pojďme zkusit. Vydělím to celé minus třemi, dostanu y minus 23 čtvrtin, to je rovno, když dělím minus trojkou, to je jako kdybych si udělala takový zlomek, takže jako bych to násobila minus jednou třetinou, minus jedna třetina krát x minus 1 to celé na druhou a ještě přičtu 23 čtvrtin a budeme mít hotovo, y se rovná minus jedna třetina krát x minus 1 to celé na druhou plus 23 čtvrtin. Vyjádřili jsme si to y z té původní rovnice. Co se tady můžeme dozvědět? Máme to zadané takto, v uvozovkách, klasicky, y se rovná. A máme tady x na druhou, takže my už si asi pamatujeme, že to je parabola, která se otvírá buď nahoru anebo dolů. Máme paraboly, které se buď otevírají nahoru a dolů anebo doleva a doprava. Když vidíme tady to x na druhou, tak víme, že se to bude otvírat buď nahoru, bude to taková parabola i s vrcholem a nebo taková parabola s takovým vrcholem, bude se otevírat buď nahoru nebo dolů. Jak my odsud můžeme jednoduše zjistit, jestli se bude otvírat nahoru nebo dolů? Pokud si to nepamatujete z pouček, díky tomuto číslu, tak se na to můžeme podívat tady. Jak to bude s tímto členem? Když budeme dosazovat jakékoli x, tak tady toto bude vždy nezáporné, je to druhá mocnina, bude to buď nulové anebo kladné. Takže celé toto bude buď nula anebo minus jedna třetina krát kladné číslo, takže něco záporného. Takže celé toto bude buď 23 čtvrtin, když toto bude nulové, nebo od těch dvaceti tří čtvrtin budu něco odečítat. Když máme parabolu, která se otvírá nahoru, tak vrchol je v jejím minimu. Když mám parabolu, která se otvírá směrem dolů, tak vrchol je vlastně její maximum, když sem dosadím souřadnici vrcholu, což je to, co mi tento člen vyjadřuje, takže x se rovná 1, tak tohle to vlastně tady bude celé nulové. A tady mi zbyde dvacet tři čtvrtin, což je to maximum, co jsme říkali, čeho můžeme dosáhnout, jinak budeme vždy něco odečítat, a bude to, y bude menší než 23 čtvrtin. Když dosadím souřadnici vrcholu, dostanu maximum z toho celého tady toho to, co můžu dostat. My víme, že vrchol bude maximem té funkce, té paraboly, takže to bude tento případ, kdy vrchol je maximem paraboly a ta parabola se tedy bude otvírat směrem dolů. To bylo jen tak pro představu, co se všechno dá zjistit z takového tvaru. Pojďme na to, jak už jsem slíbila, na to ohnisko a na tu řídící přímku. Zopakujeme si, jak máme zadanou parabolu. Budu vycházet z tohoto tvaru, máme tam vlastně dvě možnosti. Pro tento tvar je to plus minus dvě p krát y minus n, to se rovná x minus m to celé na druhou. Mohlo by to být i naopak, tady by bylo x minus m a tady by bylo y minus n to celé na druhou. Ale jak říkám, pracujeme s touto rovnicí. Z tohoto lehce vyčteme souřadnice vrcholu. Ty jsou m a n. V tomto případě, už jsme o tom tady mluvili, že x bude 1, takže x je jedna y je 23 čtvrtin. To taky potřebujeme pro načrtnutí paraboly, znát souřadnice jejího vrcholu, 1 a 23 čtvrtin. Výborně. Jak nám toto pomůže v tom, abychom zjistili souřadnice ohniska? Když si představíme, kde leží ohnisko. Já tedy k tady této parabole, která nám představuje vlastně vzor té naší paraboly, načrtnu jenom její osu. To je osa paraboly. Kde leží ohnisko paraboly? Leží na ose paraboly. Takže jak je to s ohniskem? My teď určitě víme, že jeho x-ová souřadnice bude stejná jako souřadnice vrcholu. Víme, že ohnisko bude mít souřadnice jedna a y-ovou si musíme dopočítat. Jak je to s řídící přímkou? Máme to tady, ať tu máme dostatek místa. Řídící přímka. Ta povede někde zhruba tady. Co víme o té řídící přímce a o tom ohnisku a vlastně té parabole? Zopakujeme si definici paraboly. Je to množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od řídící přímky a od ohniska. Což znamená, že když si vyberu nějaký bod té na parabole, třeba tady, tak by měl mít stejnou vzdálenost od toho ohniska a stejnou vzdálenost od té řídící přímky. No zhruba, ale v reálu to tak opravdu má být. Takže už se k něčemu dostáváme. Tady v tom vzorečku máme nějaké p. Co to je to p? Pozor, u toho se často chybuje. Pojďme si zopakovat, co to je to p. Toto je p. Je to vzdálenost řídící přímky a ohniska, ne řídící přímky a vrcholu, ne vrcholu a ohniska. Vzdálenost řídící přímky a ohniska, toto celé je p. Pozor, chybuje se v tom. Už jsem řekla, že parabola je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od řídící přímky a od ohniska. Vrchol je také bod na parabole, takže musí mít stejnou vzdálenost od řídící přímky i od ohniska, tudíž leží přesně v polovině této vzdálenosti p. Takže jakou souřadnici bude mít to ohnisko, tu y-ovou. Bude to vlastně, v tomto případě, kdy se nám parabola otvírá směrem dolů, bude to y-ová souřadnice vrcholu minus p polovin, p děleno dvěma, protože ten vrchol leží přesně v polovině té vzdálenosti p. Tady je p polovin. Tady je p polovin, takže ta souřadnice ohniska, y-ová, je y-ová souřadnice vrcholu minus p polovin. Tak to pojďme dopočítat. Ta y-ová souřadnice bude souřadnice vrcholu, 23 čtvrtin, minus p polovin. Kolik je to p? Tady máme plus minus dvě p, tady je minus 3, takže minus 2p je rovno minus 3, my už tu máme minus. Takže tady jenom vydělíme minus dvěma a dostanu, že p je rovno 3 poloviny. To je ta naše vzdálenost odsud sem. P polovin je vlastně 3 poloviny krát jedna polovina, takže tři čtvrtiny, takže to je dvacet tři čtvrtin minus tři čtvrtiny. To je 20 čtvrtin. A to je 5. Výborně. Takže souřadnice ohniska jsou jedna a 5. Výborně. A teď už zbývá ta řídící přímka. Řídící přímka. Většinou zadávaná jako q: y je rovno něco, nějaká konstanta. Znovu opakuji, vrchol vlastně leží v polovině té vzdálenosti mezi ohniskem a řídící přímkou. Ta vzdálenost je p. Takže tentokrát nebudeme p polovin odečítat ale vlastně přičítat. Tady bude y je rovno y-ová souřadnice vrcholu plus p polovin, ne minus ale plus, takže q bude y se rovná 23 čtvrtin plus p polovin. To my už víme, že jsou tři čtvrtiny, takže to je 23 čtvrtin plus tři čtvrtiny. A to je 26 čtvrtin. To je 13 polovin, 13 polovin, to je šest a půl. Takže q bude zadáno jako y se rovná šest a půl, řídící přímka. Teď už bychom to asi mohli načrtnout. Ještě pro představu, není to samozřejmě nutnost, ale bylo by hezké si možná spočítat takové ty nulové body, tedy kdy tato parabola protne osu x. Abychom to mohli zhruba víceméně načrtnout. A k tomu nám právě zase poslouží tady tento tvar, kdy za y dosadíme nulu, protože vlastně protínáme osu x, takže y-ová souřadnice je nulová a dopočítáme si x-ové souřadnice průsečíku s osou x. Takže tady bude nula, průsečík. 0 je rovno minus 1 třetina x minus jedna to celé na druhou plus 23 čtvrtin. Tohle si převedu na levou stranu, jedna třetina x minus jedna to celé na druhou je rovno 23 čtvrtin. Vynásobím obě dvě strany třemi, ať se zbavíme té jedné třetiny, takže dostanu x minus jedna na druhou, to je rovno 23 krát 3, to je 69 čtvrtin, x minus jedna je tedy rovno plus minus odmocnině z šedesáti devíti čtvrtin. Já to nepotřebuju přesně. Pojďme jenom zhruba počítat. 68 čtvrtin, to je o něco víc než 17, nejbližší druhá mocnina je 16, což je plus minus 4, odmocniny z šestnácti, takže to bude zhruba, velice zhruba, plus minus 4. Takže x minus jedna je rovno čtyřem, takže x bude vlastně více méně 5, velice přibližně, ano, velice přibližně. Anebo x minus jedna je rovno minus čtyřem, takže x bude velmi přibližně rovno minus třem. To je jenom pro naše účely načrtávání. Pojďme si tu parabolu načrtnout. Já už to můžu posunout o kousek níž, mně stačí jenom tyto souřadnice a toto. 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nám bude stačit Vrchol v bodě 1 a 23 čtvrtin, 1 a 23 čtvrtin, to je necelých 6. Těsně pod šestkou, takže někde tady, to je vrchol. Ohnisko je v bodě 1 a 5, to je tady. To je ohnisko E. A řídící přímka y se rovná šest a půl, takže někde zhruba tady. A ty průsečíky s osou x jsou víceméně kolem pětky a minus trojky, takže ta parabola bude vypadat nějak takto, velmi zhruba samozřejmě. Takže jsme dostali na začátku rovnici paraboly. Ukázali jsme si, k čemu může být dobrý tento tvar, k tomu, že získáme nějaké obecné povědomí o tom, jakým směrem se ta parabola otvírá. Potom si z toho tvaru můžu vyčíst i ty nulové body, ty průsečíky s osou x a pak jsme si ukázali, jak spočítáme souřadnice ohniska a řídící přímku. A máme hotovo.