Hlavní obsah
Ohnisko a řídicí přímka podle rovnice paraboly
Ze zadané rovnice paraboly y-23/4=-1/3(x-1)^2 si společně odvodíme ohnisko [a;b] a řídicí přímku y=k.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tady parabolu zadanou touto
rovnicí: minus tři krát y minus dvacet tři čtvrtin se rovná x minus 1 to
celé na druhou. My si tu rovnici trošku upravíme a podíváme se, co z
toho můžeme vyčíst o tvaru paraboly. A potom si zkusíme spočítat
souřadnice ohniska, řídící přímku a pomocí toho si potom tu parabolu
načrtnout. Pojďme na to. Funkci máme většinou zadanou jako y se rovná
něco. Je dobré si vždy vyjádřit y z té celé
rovnice, protože nám to může poskytnout nějaké nové informace,
které z tohoto tvaru rozhodně nevyčteme. Tak to pojďme zkusit. Vydělím to
celé minus třemi, dostanu y minus 23 čtvrtin, to je rovno, když dělím minus trojkou, to je
jako kdybych si udělala takový zlomek, takže jako bych to násobila minus
jednou třetinou, minus jedna třetina krát x minus 1 to celé na druhou a
ještě přičtu 23 čtvrtin a budeme mít hotovo, y se rovná minus jedna třetina
krát x minus 1 to celé na druhou plus 23 čtvrtin. Vyjádřili jsme si to y z té původní
rovnice. Co se tady můžeme dozvědět? Máme to zadané takto, v uvozovkách,
klasicky, y se rovná. A máme tady x na druhou, takže my už si asi pamatujeme,
že to je parabola, která se otvírá buď nahoru anebo dolů. Máme paraboly,
které se buď otevírají nahoru a dolů anebo doleva a doprava. Když vidíme
tady to x na druhou, tak víme, že se to bude otvírat buď nahoru, bude to
taková parabola i s vrcholem a nebo taková parabola s takovým vrcholem,
bude se otevírat buď nahoru nebo dolů. Jak my odsud můžeme jednoduše zjistit,
jestli se bude otvírat nahoru nebo dolů? Pokud si to nepamatujete z
pouček, díky tomuto číslu, tak se na to můžeme podívat tady. Jak to bude s
tímto členem? Když budeme dosazovat jakékoli x, tak tady toto bude vždy
nezáporné, je to druhá mocnina, bude to buď nulové anebo kladné. Takže celé toto
bude buď nula anebo minus jedna třetina krát kladné číslo, takže něco
záporného. Takže celé toto bude buď 23 čtvrtin, když toto bude nulové, nebo
od těch dvaceti tří čtvrtin budu něco odečítat. Když máme parabolu, která se
otvírá nahoru, tak vrchol je v jejím minimu. Když mám parabolu, která se
otvírá směrem dolů, tak vrchol je vlastně její maximum, když sem dosadím
souřadnici vrcholu, což je to, co mi tento člen vyjadřuje, takže x se rovná
1, tak tohle to vlastně tady bude celé nulové. A tady mi zbyde dvacet tři čtvrtin,
což je to maximum, co jsme říkali, čeho můžeme dosáhnout, jinak budeme
vždy něco odečítat, a bude to, y bude menší než 23 čtvrtin. Když dosadím
souřadnici vrcholu, dostanu maximum z toho celého tady toho to, co můžu
dostat. My víme, že vrchol bude maximem té funkce, té paraboly, takže to bude
tento případ, kdy vrchol je maximem paraboly a ta parabola se tedy bude
otvírat směrem dolů. To bylo jen tak pro představu, co se všechno dá
zjistit z takového tvaru. Pojďme na to, jak už jsem slíbila, na to ohnisko a
na tu řídící přímku. Zopakujeme si, jak máme zadanou parabolu.
Budu vycházet z tohoto tvaru, máme tam vlastně dvě možnosti. Pro
tento tvar je to plus minus dvě p krát y minus n, to se rovná x minus m
to celé na druhou. Mohlo by to být i naopak, tady by bylo
x minus m a tady by bylo y minus n to celé na druhou. Ale jak říkám,
pracujeme s touto rovnicí. Z tohoto lehce vyčteme souřadnice vrcholu. Ty
jsou m a n. V tomto případě, už jsme o tom tady
mluvili, že x bude 1, takže x je jedna y je 23 čtvrtin. To taky potřebujeme pro načrtnutí
paraboly, znát souřadnice jejího vrcholu, 1 a 23 čtvrtin. Výborně. Jak nám toto pomůže v tom,
abychom zjistili souřadnice ohniska? Když si představíme, kde leží ohnisko.
Já tedy k tady této parabole, která nám představuje vlastně vzor té naší
paraboly, načrtnu jenom její osu. To je osa paraboly. Kde leží ohnisko
paraboly? Leží na ose paraboly. Takže jak je to s ohniskem? My teď
určitě víme, že jeho x-ová souřadnice bude stejná jako souřadnice vrcholu.
Víme, že ohnisko bude mít souřadnice jedna a y-ovou si musíme
dopočítat. Jak je to s řídící přímkou? Máme to tady, ať tu máme dostatek
místa. Řídící přímka. Ta povede někde zhruba tady. Co víme o té řídící
přímce a o tom ohnisku a vlastně té parabole? Zopakujeme si definici
paraboly. Je to množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od řídící
přímky a od ohniska. Což znamená, že když si vyberu nějaký
bod té na parabole, třeba tady, tak by měl mít stejnou vzdálenost od toho
ohniska a stejnou vzdálenost od té řídící přímky. No zhruba, ale v reálu to tak opravdu
má být. Takže už se k něčemu dostáváme. Tady v tom vzorečku máme
nějaké p. Co to je to p? Pozor, u toho se často chybuje. Pojďme
si zopakovat, co to je to p. Toto je p. Je to vzdálenost řídící přímky a
ohniska, ne řídící přímky a vrcholu, ne vrcholu a ohniska. Vzdálenost řídící
přímky a ohniska, toto celé je p. Pozor, chybuje se v tom. Už jsem
řekla, že parabola je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od
řídící přímky a od ohniska. Vrchol je také bod na parabole, takže musí mít
stejnou vzdálenost od řídící přímky i od ohniska, tudíž leží přesně v
polovině této vzdálenosti p. Takže jakou souřadnici bude mít to
ohnisko, tu y-ovou. Bude to vlastně, v tomto případě, kdy se nám parabola
otvírá směrem dolů, bude to y-ová souřadnice vrcholu minus p polovin, p
děleno dvěma, protože ten vrchol leží přesně v polovině té vzdálenosti p.
Tady je p polovin. Tady je p polovin, takže ta souřadnice ohniska,
y-ová, je y-ová souřadnice vrcholu minus p polovin. Tak to pojďme dopočítat. Ta
y-ová souřadnice bude souřadnice vrcholu, 23 čtvrtin, minus p polovin. Kolik je to p? Tady máme plus minus
dvě p, tady je minus 3, takže minus 2p je rovno minus 3, my už tu máme minus. Takže tady jenom vydělíme minus dvěma a
dostanu, že p je rovno 3 poloviny. To je ta naše vzdálenost odsud sem. P polovin je vlastně 3 poloviny krát
jedna polovina, takže tři čtvrtiny, takže to je dvacet tři čtvrtin minus tři
čtvrtiny. To je 20 čtvrtin. A to je 5. Výborně. Takže souřadnice ohniska jsou
jedna a 5. Výborně. A teď už zbývá ta řídící
přímka. Řídící přímka. Většinou zadávaná jako q: y je rovno
něco, nějaká konstanta. Znovu opakuji, vrchol vlastně leží v
polovině té vzdálenosti mezi ohniskem a řídící přímkou. Ta vzdálenost je p.
Takže tentokrát nebudeme p polovin odečítat ale vlastně přičítat. Tady bude y je rovno y-ová souřadnice
vrcholu plus p polovin, ne minus ale plus, takže q
bude y se rovná 23 čtvrtin plus p polovin. To my už víme, že jsou tři čtvrtiny,
takže to je 23 čtvrtin plus tři čtvrtiny. A to je 26 čtvrtin. To je 13 polovin, 13 polovin,
to je šest a půl. Takže q bude zadáno jako y se rovná
šest a půl, řídící přímka. Teď už bychom to asi mohli načrtnout.
Ještě pro představu, není to samozřejmě nutnost, ale bylo by hezké
si možná spočítat takové ty nulové body, tedy kdy tato parabola protne
osu x. Abychom to mohli zhruba víceméně
načrtnout. A k tomu nám právě zase poslouží tady tento tvar, kdy za y
dosadíme nulu, protože vlastně protínáme osu x, takže y-ová souřadnice je nulová a
dopočítáme si x-ové souřadnice průsečíku s osou x. Takže tady bude nula, průsečík. 0 je
rovno minus 1 třetina x minus jedna to celé na
druhou plus 23 čtvrtin. Tohle si převedu na levou stranu,
jedna třetina x minus jedna to celé na druhou je rovno 23 čtvrtin. Vynásobím obě dvě strany třemi, ať se
zbavíme té jedné třetiny, takže dostanu x minus jedna na druhou, to je rovno 23
krát 3, to je 69 čtvrtin, x minus jedna je tedy rovno plus
minus odmocnině z šedesáti devíti čtvrtin. Já to nepotřebuju přesně.
Pojďme jenom zhruba počítat. 68 čtvrtin, to je o něco víc než 17,
nejbližší druhá mocnina je 16, což je plus minus 4,
odmocniny z šestnácti, takže to bude zhruba, velice zhruba, plus
minus 4. Takže x minus jedna je rovno čtyřem,
takže x bude vlastně více méně 5, velice přibližně, ano, velice přibližně.
Anebo x minus jedna je rovno minus čtyřem, takže x bude velmi přibližně rovno minus
třem. To je jenom pro naše účely načrtávání.
Pojďme si tu parabolu načrtnout. Já už to můžu posunout o kousek níž,
mně stačí jenom tyto souřadnice a toto. 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nám bude
stačit Vrchol v bodě 1 a 23 čtvrtin, 1 a 23
čtvrtin, to je necelých 6. Těsně pod šestkou, takže někde tady,
to je vrchol. Ohnisko je v bodě 1 a 5, to je tady. To je ohnisko E. A řídící přímka y se
rovná šest a půl, takže někde zhruba tady. A ty
průsečíky s osou x jsou víceméně kolem pětky a minus trojky, takže ta parabola
bude vypadat nějak takto, velmi zhruba samozřejmě. Takže jsme dostali na
začátku rovnici paraboly. Ukázali jsme si, k čemu může být dobrý
tento tvar, k tomu, že získáme nějaké obecné povědomí o tom, jakým směrem se
ta parabola otvírá. Potom si z toho tvaru můžu vyčíst i ty nulové body, ty
průsečíky s osou x a pak jsme si ukázali, jak spočítáme souřadnice
ohniska a řídící přímku. A máme hotovo.