Vrcholy hyperboly

Máme tady zadání. Která ze zakreslených hyperbol může být dána rovnicí y na druhou lomeno devíti minus x na druhou lomeno čtyřmi je rovno jedné? To video si samozřejmě zastavte a zkuste si to sami. My tady máme čtyři různé možnosti, 4 různé hyperboly, dvě se otvírají nahoru a dolů a dvě se otvírají doleva a doprava. A mají různé souřadnice vrcholů, jak vidíte. My to teď půjdeme vyřešit společně. Nejdříve chceme zjistit, jaké jsou souřadnice středu té hyperboly. A jelikož tady nahoře máme jenom y na druhu a x na druhou, tak my víme, že střed bude ležet v počátku soustavy souřadnic, tady v bodě nula a nula. Kdyby tomu tak nebylo, tak bychom tady museli mít y minus nějaké n, to celé na druhou, lomeno devíti minus x minus nějaké m, to celé na druhou, lomeno čtyřmi je rovno jedné, kdy pak m a n by byly souřadnice toho středu. A jelikož to tam není, tak my víme, že střed bude v počátku soustavy souřadnic. Tak se pojďme podívat, jestli něco už můžeme vyřadit. Tady je střed v počátku, tady taky. Tady taky. A tady taky. Takže to nám moc nepomohlo. Pojďme tedy dál. Pojďme teď zjistit, jestli se ta hyperbola otvírá nahoru a dolů nebo doleva a doprava. K tomu nám poslouží podívat se, který z těch členů je kladný, jestli člen s y nebo s x. My vidíme, že kladný je člen s y a tedy ta hyperbola se bude otvírat nahoru a dolů. Tohle buď můžete znát zpaměti, anebo si to můžete spočítat, protože zpaměti, to se lehko zapomíná po pár dnech. Ale když si to umíte spočítat, tak to je pro vás vždycky jednodušší a praktičtější. Zkusíme si dosadit za x nebo za y nulu. Zkusíme si dosadit nulu za x a zkusíme to dopočítat, jestli nám to vyjde. Takže když x je nulové, tak tento člen tady vlastně je nulový a zbyde nám, že y na druhou lomeno devíti je rovno jedné. Když to vynásobím devíti, dostanu, že y na druhou je rovno 9 a tedy y je odmocnina z devíti a tedy plus minus tři. Takže dosadili jsme za x, vlastně x-ovou souřadnici středu, nulu, a vyšlo nám, že y je rovno plus minus tři. Takže my víme, že tyto dva body, 0 a 3 a 0 a minus tři, budou ležet na té hyperbole, respektive jsou to souřadnice jejích vrcholů, takže vidíme, že můžeme dosadit x je rovno nule. Tady se může x klidně rovnat nule a máme tu nějakou y-ovou souřadnici, když se ty hyperboly otvírají nahoru a dolů, že. Ale když tady je x 0, tak tu nemáme tu hyperbolu, x se nikdy u hyperbol otvírajících doleva a doprava nemůže rovnat nule, nikdy nemáme bod, kde je x nula a y je něco u hyperbol otevírajících se doleva a doprava. Můžete si to taky představit tak, že vlastně když je kladný ten člen s y, tak se vlastně hyperboly otevírají podél té osy y, tedy nahoru a dolů. Kdyby byl kladný ten člen s x, tak by se otevíraly podél osy x doleva a doprava. Zkusme si jenom dopočítat, jestli jsme počítali správně, jestli se náhodou y taky nemůže rovnat 0. Kdybychom položili y rovno nule, tedy bychom použili y-ovou souřadnici středu, tak by nám zbylo minus x na druhou děleno čtyřmi je rovno jedné. Vynásobíme čtyřmi, minus x na druhou je rovno 4. Já to ještě vynásobím minus jednou, ať je to hezky vidět. X na druhou má být rovno minus čtyřem. Jsme v reálných číslech, takže toto rozhodně nelze. Nic na druhou nemůže být záporné. Vidíme, že tohle to nejde a x se nemůže rovnat nule, takže jsme počítali správně. Budou se ty hyperboly otvírat nahoru a dolů. Takže tím pádem vyloučíme tuto a tuto možnost, doleva a doprava se otvírají, B a D, B a D škrtáme. A zbývají nám tyto dvě a to už je jednoduché. Já to kousek posunu, abychom je pěkně viděli. My jsme řekli, že toto jsou souřadnice bodů, které leží na té hyperbole, respektive jsou to její vrcholy. Takže 0 a 3 a 0 a minus 3. To se zdá být v pořádku. 0 a 3 a 0 a minus 3, na této hyperbole neleží, takže ani tato hyperbola není řešením. Takže jsme dospěli k výsledku. A to, že rovnicí y na druhou lomeno devíti minus x na druhou lomeno čtyřmi rovná se jedna, je zadána hyperbola A. A máme hotovo.