Radiány a stupně

Pojďme si říci něco málo o převádění úhlů z radiánů na stupně, ze stupňů na radiány. Nejprve si pro přehled připomeňme jejich vzájemný vztah. Udělám to vždy předtím, než musím převést stupně na radiány a obráceně. Jestliže jsem obešel 1 kruh, kolik radiánu jsem obešel? Víme, že obvod kruhu jsou 2π radiánů, ale kolik je to stupňů, jestliže udělám 1 obvod kruhu? Víme, že 360 stupňů… Můžeme to napsat s tímto malým znakem nebo můžeme to napsat takto. A tohle je pro nás opravdu dostatečná informace o tom, jak převádět mezi radiány a úhly. Jestliže chceme zjednodušit daný výraz, můžeme vydělit obě strany rovnice 2. A dostaneme π radiánů je rovno 180 stupňům, nebo při jiné úvaze dostaneme, že půlkruh v radiánech je π radiánů. Oblouk daného půlkruhu pak vytváří úhel π radiánů a to je to stejné jako 180 stupňů. Jestliže se zamyslíme, tak vlastně víme, kolik stupňů je rovno jednomu radiánu, když vydělíme obě strany rovnice π. Vydělíme obě strany rovnice π, abychom dostali vlevo 1 radián. Všimněte si, že přecházíme z množného čísla na jednotné. 1 radián je roven (180 děleno π) stupňů. Vše, co jsem udělal, bylo pouhé vydělení obou stran rovnice π. Když chceme vyřešit to, kolik radiánů je ve stupních, tak můžeme obě strany rovnice vydělit 180. Dostaneme (π děleno 180) radiánů je rovno 1 stupni. Nyní si myslím, že jsme připraveni začít převádět. Pojďme převést 30 stupňů na radiány. Pojďme o tom přemýšlet. Pojďme to vypracovat a mimochodem toto Vám může připomínat jednotkovou analýzu, kterou jste možná dělali v první lekci o převádění úhlů. Zde to funguje stejně. Když napíšu, že 30 stupňů… Takto můj mozek pracuje, napíšu stupně. Rád bych převedl radiány, proto potřebuju vyřešit, kolik radiánu je v 1 stupni. Napišme si toto. Potřebuji vyřešit, kolik radiánů je v 1 stupni. Nevím, kolik to je, ale vidíme, že jednotky se tu mohou zkrátit. Jestliže máme stupně krát (radiány děleno stupněm), tak se stupně vykrátí a v rovnici zbydou jen radiány. Pokud vynásobíme počet stupňů a počet radiánu na stupeň, tak dostaneme radiány. Doufám, že Vám to dává smysl. A takhle musíme uvažovat, když máme… Přemýšlejme takto: jestliže mám π radiánů, tak kolik to je stupňů? To je 180 stupňů, bereme to přímo odtud, π radiánu je na každých 180 stupňů, nebo (π děleno 180) (radiánů děleno stupni). Toto nám pomůže. Potřebujeme 30 krát π děleno 180. 30 krát π děleno 180, což se dá zjednodušit na 30 děleno 180 je 1 děleno 6, je to rovno π děleno 6. Napíšu jednotku zvlášť. 30 stupňů je rovno (π děleno 6) radiánů. Nyní to zkusme jinak. Máme (π děleno 3) radiánů a chceme je převést na stupně. Co musíme udělat, abychom je převedli na stupně? Zde chceme vypočítat, kolik stupňů je v radiánů. Jeden způsob uvažování je takový, že π je 180 stupňů, pro každých 180 stupňů máme π radiánů. 180 stupňů děleno π radiánů, toto jsou v podstatě stejné věci. Vlastně můžeme jednoduše vynásobit tuto rovnici 1, ale změníme jednotku. Radiány vyrušíme a vyrušíme i π. Nyní nám zůstalo (180 děleno 30) stupňů, 180 děleno 30 je 60 a můžeme napsat stupně. Nyní pojďme uvažovat o 45 stupních. Tak co se 45 stupni? Napíšu to takto, abychom se naučili pracovat i s tímto zápisem. Kolika radiánům se bude toto rovnat? Pojďme ještě uvažovat, kolik radiánů máme v jednom stupni. Vynásobíme toto a dostaneme π radiánů pro každých 180 stupňů, nebo to můžeme napsat jiným způsobem. π radiánů na každých 180 stupňů. Tady to může být lehce méně intuitivní, vyrušíme stupně, a proto to většinou radši píšu slovně, a zůstane nám 45π děleno 180 radiánů. Pojďme si to napsat slovy, pro mě je mnohem více srozumitelnější, když o tom přemýšlím, místo jiného zápisu. 45 stupňů krát… Máme π radiánů na každých 180 stupňů. Proto po vynásobení máme… (45 krát π) děleno 180, stupně jsou vykráceny a zůstávají jen radiány. Což je rovno čemu? 45 je půlka z 90, což je půlka ze 180, proto je to rovno 1 děleno 4. Je to rovno π děleno 4 radiány. Pojďme udělat ještě jeden. Řekněme, že máme (-π děleno 2) radiánů. Kolik je to stupňů? Ještě jednou si promyslíme, kolik stupňů je v každém radiánu. Víme, že je 180 stupňů na každých π radiánů, tak dostaneme… Radiány se zkrátí, π se zkrátí a máme -180 děleno 2, což je -90 stupňů, nebo to můžeme napsat jako -90°. Doufám, že to bylo nápomocné, udělám ještě několik příkladů, protože čím více příkladů, tím víc to procvičíme a získáme trochu intuice.