Počítání s radiány
Přihlásit se
Počítání s radiány (1/6) · 10:51

Úvod k radiánům Co si můžeme představit pod úhlovou jednotkou radián a jak převádět mezi stupni a radiány? To nám osvětlí video.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
Pravděpodobně víte, jak se měří úhly ve stupních. Setkáváme se s nimi každý den. Některé příklady jsou v tomto videu. O tomto úhlu řeknete, že má velikost 30 stupňů. Jestliže máte takový úhel, tak o něm řeknete, že má 90 stupňů. K jeho označení používá tento symbol. Úhel 180 stupňů je v podstatě rovná přímka. Úhel 360 stupňů znamená, že jste se jedenkrát otočili. Jestliže sledujete bruslaře na olympiádě, jak se otáčí, říkají tam "Otočil se o 360!". Můžete se s tím setkat i u skateboardistů a podobně. Ale jednu věc je dobré si uvědomit už na začátku. Celé toto značení je jenom systém zavedený člověkem. Není to jediný způsob, jak se dají měřit úhly. Když se nad tím zamyslíte, proč je celá otočka 360 stupňů? Existuje několik možných vysvětlení. Zamysleme se nad tím. Proč se používá označení 360 stupňů pro celou otočku? Existuje několik vysvětlení... Jedno z nich vychází z kalendářů starých kultur tyto kalendáře měly 360 dní v roce. Starověcí astronomové vypozorovali, že obloha se pohybuje o jednu 360tinu za jeden den. Jiná teorie tvrdí, že Babyloňané obdivovali rovnostranné trojúhelníky a počítali v šedesátkové číselné soustavě. Měli 60 číslic, my máme pouze 10. My počítáme v desítkové soustavě, oni v šedesátkové. Takže v našem systému dělíme na desítky, oni dělili na šedesátky. Jestliže máte kruh a rozdělíte jej na 6 rovnostranných trojúhelníků. A každý z těchto trojúhelníků rozdělíte na 60 částí protože máte číselnou soustavu o základě 60, dostanete 360 stupňů. V tomto videu bych vám rád ukázal jiný způsob měření úhlů. Ten způsob sice není zezačátku moc intuitivní, ale je mnohem více "matematický". Není založen na odkazu šedesátkové číslené soustavy, ani astronomických jevech. Mimozemšťan na cizí planetě by asi nepoužíval stupně, jestliže by vznikly z astronomického jevu. Ale možná by používal tzv. radiány. Radiány jsou matematicky korektní. Radiány. Radiány zadefinuji třeba na zářezu do sýra. Nakreslím zde kruh, aspoň se o to pokusím. Celkem ujde. Teď vyznačím jeho střed a poloměr. Řekněme, že tohle je poloměr. Možná jste si všimli, že poloměr (rádius) zní skoro jako radián. To není náhoda. Takže řekněme, že tento kruh má poloměr o délce 'r'. Uvažujme úhel, který nazvu 'theta'. Zavedeme si úhel 'theta'. Takže tento úhel je naše 'theta' a řekněme, že tento úhel je přesně ta správná jednotka. Jestli se podíváte na oblouk, který vytíná tento úhel. To slovo zní hodně divně. Nakreslím ten úhel. Takže jestliže si vezmete oblouk, který vytíná tento úhel. To je vlastně délka od jednoho průsečíku s ramenem úhlu ke druhému. Takže délka tohoto oblouku je určena úhlem 'theta'. Takže to to napíšu. 'theta' určuje délku oblouku. A řekněme, že 'theta' má přesně takovou velikost, že tento oblouk má délku poloměru kruhu takže oblouk je délky 'r'. Takže, kdybyste měli nazvat tuto novou jednotku, nazvali byste ji radián, což je podobné jako rádius. Kolik radiánů bude mít tento úhel? Nebudeme to dělat složitě. Jeden radián zní skoro stejně jako rádius. Takže si řekneme, že toto je délka jednoho poloměru. Řekneme, že to je jeden radián. Takže to je jeden radián. To je přesná definice radiánu. Jestliže máte kruh, pak úhel jednoho radiánu na něm vytíná oblouk o délce jednoho poloměru. Což se může hodit, když se budeme déle zabývat vztahy v kruhu. Jestliže máte úhel ve stupních, musíte pracně počítat a uvažovat délku obvodu. Abyste určili, kolik poloměrů je naproti úhlu. Úhel vyjádřený v radiánech vám to řekne přesně a hned. Udělejme si nyní pár příkladů. Takže, jak velký bude úhel v radiánech, jestliže... Nakreslím zde jiný kruh. To je střed, jedno rameno úhlu. Co by se stalo, kdybych měl určit tento úhel a měl bych ho určit v radiánech? Můžete to brát jako rádiusy. Jak velký tedy bude tento úhel? Jedna otočka. To je 360 stupňů. Budeme postupovat podle definice. Kolik to bude radiánů? Oblouk, který je protilehlý tomuto úhlu, má délku celého obvodu kruhu. Je to celý obvod tohoto kruhu. Jak velký je obvod tohoto kruhu, vyjádřený pomocí poloměru? Tato délka je 'r'. Jak vyjádřit obvod kruhu pomocí 'r'? Víme, že to je 2 pí 'r'. Takže zpět k našemu úhlu... Jaká je délka oblouku, kterou vytíná tento úhel? Kolik rádiusů? Je to 2 pí rádiusů. Je to 2 pí krát 'r'. Takže to je tento úhel. Nazvu ho odlišně, třeba 'x'. 'x' je v tomto případě 2 pí radiánů. Je obklopen obloukem o délce 2 pí rádiusssů. Jestliže je rádius jedna jednotka, tak toto bude 2 pí 'r'. Zkusme se zamyslet nad tím, jak převádět radiány na stupně a naopak. Kdybych měl... Můžeme pokračovat v tomto příkladu. Kdybych se měl jedenkrát otočit, tak budu mít 2 pí radiánů, kolik to bude stupňů? To už známe. Jedna otáčka je 360 stupňů. Můžu psát buď "stupňů" nebo použít tento způsob zápisu. Napíšu to slovně. Bude potom jasné, že používám nějaké jednotky v obou případech. Kdybych to chtěl trochu zjednodušit, mohl bych podělit obě strany dvěma. Potom budeme mít na levé straně pí radiánů. To se rovná kolik stupňů? To se rovná 180 stupňů. 180 stupňů, můžu to napsat tímto způsobem nebo takto. A zde vidíte, že toto je 180 stupňů. Dále zde nakreslím kruh a chceme se dostat do poloviny kruhu. Takže délka oblouku, který je protilehlý tomuto úhlu je polovina poloměru, což je pí 'r'. To je pí radiánů. Pí radiánů je 180 stupňů. A to můžeme zobecnit. Kolik stupňů bude jeden radián? Stačí vydělit obě strany konstantou pí, na levé straně zůstane 1. Napíšu to jednoduše, jeden radián se rovná... Dělím obě strany, vyjasněme si co zde počítám. Není v tom žádná magie. Takže podělím obě strany rovnice pí. Na levé straně zůstává 1. A na pravé straně je 180 lomeno pí stupňů. Takže 1 radián se rovná (180 lomeno pí) stupňů. Takže začínáme přicházet na to, jak mezi nimi převádět. Vezměme si to z druhé strany, kdybych měl jeden stupeň, kolik je to radiánů? Přepíšu to sem. Řekli jsme, že pí radiánů je 180 stupňů. Teď chci získat 1 stupeň. Pojďme spočítat 1 stupeň. Můžeme podělit obě strany rovnice 180. A zůstane nám, (pí lomeno 180) radiánů se rovná 1 stupeň. Takže (pí lomeno 180) radiánů je 1 stupeň. Můžete být trochu zmatení, já jsem byl když jsem to viděl poprvé. Protože s radiány se nesetkáváme v běžné životě. V dalších několika příkladech uvidíme, že pokud si pamatuji,, že 2 pí radiánů se rovná 360 stupňů nebo pí radiánů je 180 stupňů, což jsou jediné věci, které je potřeba vědět. Vždycky si můžeme odvodit tyto dva vztahy. Mohli byste namítnout: "Hej jak víš, že je to pí lomeno 180 nebo 180 lomeno pí?". Pro tento převod si stačí pamatovat docela intuitivní věc. A to že 2 pí radiánů je 360 stupňů. V dalším videu si ukážem několik příkladů, abychom se ujistili, že umíme převádět oběma směry.
video