Základní goniometrické funkce
Přihlásit se
Základní goniometrické funkce (3/14) · 9:22

Graf, definiční obor a obor hodnot funkce sinus Pojďme si podrobně rozebrat funkci sinus, určit její definiční obor a obor hodnot. Vše propojeno s jednotkovou kružnicí.

Navazuje na Úvod do goniometrických funkcí.
Máme za úkol zjistit definiční obor a obor hodnot funkce sinus. Abychom o tom mohli přemýšlet, nakresleme si funkci sinus. Nalevo tu mám jednotkovou kružnici. Trochu to zkrátím, nepotřebuji tolik místa, takže to vymažu. Nalevo mám tedy jednotkovou kružnici. Použiji ji, abych zjistil hodnoty funkce sinus θ, pro dané θ [théta]. Na jednotkové kružnici je tohle 'x' a tohle 'y'. Nebo to může být… Bude to 'x' a 'y'. Pro dané θ vidíme, kde rameno úhlu protíná kružnici a souřadnice 'y' toho bodu je sinus θ. Na tomto grafu označím vertikální osu jako 'y', ale budu zobrazovat hodnoty 'y' je rovno sinus θ. 'y' je rovno sinus θ. Na horizontální ose nebudu zobrazovat 'x', ale θ. Můžete brát θ za nezávislou proměnnou. θ bude v radiánech. V podstatě vezmeme několik hodnot θ, zjistíme, jaké budou hodnoty sinus θ a poté vyneseme do grafu. Vytvořme si tabulku. Zde mám hodnoty θ a zde budeme psát hodnoty sinus θ. Mohli bychom vzít několik hodnot θ. Začněme s hodnotou θ je rovno 0. Kolik bude sinus θ? Je-li úhel roven 0, protneme jednotkovou kružnici zde. Hodnota 'y' je stále 0, je to bod [1,0]. 'y' je 0, takže i sinus θ je 0. Můžeme říct, že sinus θ je 0. Sinus θ je 0. Zkusme nyní θ rovno (π lomeno 2). θ je (π lomeno 2). Dělám jen ty, které jsou snadné. θ je (π lomeno 2), to je to samé jako úhel 90 °. Rameno úhlu tedy bude kopírovat osu 'y'. Místo, kde protne jednotkovou kružnici je právě zde. Jaký je to bod? Je to bod [0,1]. Jaká je tedy hodnota sinus (π lomeno 2)? Sinus (π lomeno 2) je prostě hodnota 'y', což je 1. Sinus (π lomeno 2) je 1. Pokračujme, asi jste si všimli vzorce, stále jdeme po kružnici. Zamysleme se, co se stane, když θ bude rovno π. Je-li θ rovno π… Kolik je sinus π? Jednotkovou kružnici protneme právě tady, souřadnice toho bodu jsou [-1,0]. Sinus je hodnota 'y'. Tohle je tedy hodnota sinus π, sinus π je tedy 0. Pojďme na (3π lomeno 2), teď jsme ve třech čtvrtinách cesty kolem kružnice. Rameno úhlu protíná jednotkovou kružnici v tomto bodě. Na základě toho, kolik je sinus (3π lomeno 2)? Tento bod má souřadnice [0,-1]. Sinus θ je roven souřadnici 'y', Je-li θ rovno (3π lomeno 2), pak sinus θ je rovno -1. Pojďme kolem celé kružnice. Pojďme k θ rovno 2π, použiji žlutou barvu. Co se stane, bude-li θ rovno 2π? Pak bychom šli dokola kolem celé kružnice a byly bychom zpátky tam, kde jsme začali. Hodnota 'y' je 0, sinus 2π je tedy opět 0. Pokud bychom šli dále, jak bychom zvětšovali úhel, toto by se opakovalo. Zkusme to vynést do grafu. Je-li θ rovno 0, sinus θ je 0. Je-li θ rovno (π lomeno 2), sinus θ je 1. Použijeme stejné měřítko. Sinus θ je tedy rovno 1. Je to 1 na této ose a je to 1 i na této ose. Můžeme v tom vidět nějakou podobnost. Je-li θ rovno π, sinus θ je 0. Jdeme tedy zpět sem. Je-li θ rovno (3π lomeno 2), to by bylo někde tady, Sinus θ je -1. Tady je -1, podle stejného měřítka udělám tady -1. Sinus θ je tedy rovno -1. Pak, je-li θ rovno 2π, sinus θ je rovno 0. Můžeme spojit body. Zkuste i jiné body mezi nimi, pak dostanete graf, vypadající takto. To je nejlepší, jak to od ruky dovedu. Bude vypadat nějak takto. Křivkám, které vypadají takto, se z dobrého důvodu říká sinusoidy. Jsou to grafy funkce sinus. Takže nějak takto. To není celý graf, mohli bychom pokračovat. Mohli bychom přidat další (π lomeno 2). Pokud bychom přidali, máme 2π a k tomu přičteme (π lomeno 2), takže v podstate 2,5 krát π. Jakkoliv to budete brát, musíte se dostat zpět sem. Opět se dostanete k sinus θ rovno 1. Půjdete zpátky do tohoto bodu a můžete pokračovat, přídáte-li další (π lomeno 2), vrátíte se do tohoto bodu. Tím pádem je tato křivka, funkce sinus θ, definována pro všechna reálná θ, která si vyberete. Co záporná čísla? Určitě platí, že budeme-li zvyšovat θ, budeme chodit pořád dokola a tento vzorec se bude opakovat. Co se stane, půjdeme-li do záporu? Zkusme to. Co se stane, vezmeme-li θ rovno (-π lomeno 2). Půjdeme přesně sem. Rameno úhlu protne jednotkovou kružnici zde. 'y' je rovno -1, takže sinus (-π lomeno 2) je -1. Vidíme, že se to opakuje. Funkce sinus θ je definována pro všechna, kladná, záporná, nezáporná, nulová θ. Je definována pro jakékoli θ. Vraťme se k otázce. Tuto funkci tedy mohu kreslit dál a dál. Vraťme se k otázce. Jaký je definiční obor funkce sinus? Pro připomenutí, definiční obor jsou všechny platné vstupní hodnoty, pro které je funkce definována. všechny platné vstupní hodnoty, pro které funkce dá platný výsledek. Jaký je tedy definiční obor funkce sinus? Teď jsme viděli, že můžeme zadat libovolné θ. Můžeme říct, že definičním oborem funkce sinus jsou všechna reálná čísla. A obor hodnot? Je to opakování, obor hodnot je… …v technické matematice někdy také obraz… …je množina všech hodnot, kterých může ta funkce nabývat. Jaká je ta množina? Ten obor hodnot? Jaké jsou hodnoty, kterých 'y' je sinus θ může ve skutečnosti nabývat? Vidíme, že hodnoty přecházejí mezi kladnými a zápornými, pak zpět do kladných a opět do záporných. Nabývá všech hodnot mezi nimi. Vidíme, že sinus θ bude vždy menší nebo roven 1 a současně větší nebo roven -1. Obor hodnot funkce sinus θ jsou tedy všechny hodnoty mezi -1 a 1. Navíc obsahuje i body -1 a 1, proto použiji tyto závorky místo kulatých.
video