Hodnoty goniometrických funkcí u speciálních úhlů

Máme tu jednotkovou kružnici se středem v bodě A a na ní leží bod B. Spustíme kolmici z bodu B do bodu D, bod D leží na ose x. Společně vytvořily trojúhelník ABD. Řekli nám, že úhel BAD měří přesně (π lomeno 4) radiány. Co chci dělat v tomto videu, je použít naši znalost goniometrie a využít naši znalost trojúhelniků, abychom zjistili několik věci. Nejdříve chceme zjistit, kolik radiánů měří úhel ABD. Nejdříve udělejme toto. Pak budu mluvit o dalších věcech, o kterých musíme přemýšlet. Předpokládám, že jste pozastavili video a zkusili jste si to sami. Zamysleme se, jak velký by ABD mohl být. Známe dva úhly tohoto trojuhelníku, takže pokud znáte dva úhly, můžete najít třetí. Co může být trochu neznámé… Víme, že součet vnitřních úhlů je 180°. Jenže teď pracujeme v radiánech. Můžeme říct, že součet tří úhlů se rovná… Místo 180°… 180° je stejné jako π radiánů. Tento úhel plus tento plus tento se rovná π. Řekněme, že tento úhel tady… Řekněme velikost úhlu ABD v radiánech plus (π lomeno 4)… Toto je pravý úhel, kolik to bude v radiánech? Pravý úhel v radiánech, úhel 90°, je (π lomeno 2) radiánů. …tedy plus (π lomeno 2). Když je sečtete, součet vnitřních úhlů bude π radiánů, což je samozřejmě stejné jako 180°. Teď můžeme vypočítat velikost úhlu ABD. Velikost úhlu ABD se rovná π minus (π lomeno 2) minus (π lomeno 4). Odečetl jsem tyto dva od obou stran. Toto bude rovno, podívejme se, mohli bychom dát společný jmenovatel 4. Pak toto je (4π lomeno 4). Toto je (-2π lomeno 4). A toto je samozřejmě (-π lomeno 4). 4 minus 2 minus 1 nám dá 1. To nám dá (π lomeno 4). Velikost úhlu ABD je vlastně stejná, jako je velikost BAD, to je (π lomeno 4). Tento úhel zde je tedy (π lomeno 4). K čemu je nám to dobré? Víme-li, že to je (π lomeno 4) a toto je (π lomeno 4) radiánů… Znovu, toto je jednotková kružnice. Víme, že délka úsečky AB, která je poloměrem této kružnice, je 1. Co dále víme o tomto trojúhelníku? Můžeme určit délku úsečky AD a úsečky DB? Jistě. Máme dva úhly u základny, které jsou stejně velké, což znamená, že odpovídající strany budou stejně dlouhé. To znamená, že tato strana je shodná s touto. Mohu to přeorientovat tak, aby bylo jednodušší si to uvědomit. Kdybychom to převrátili… Kdybychom to ne úplně převrátili, ale jen to nakreslili takto… Trojúhélník, mohli bychom jej udělat… Vlastně chci, aby to vypadalo jako pravý úhel. Takže můj trojúhelník… snažím se, ať to vypadá… Tady to máme. Je-li toto D, toto je B a toto je A. toto je náš pravý úhel… Teď toto je (π lomeno 4) radiánů a toto je také (π lomeno 4) radiánů, Máte-li dva úhly u základny stejné, víte, že je to rovnoramenný trojúhelník. Rovnoramenný, nejsou všechny stejné, není to rovnostranný trojúhelník. Kdyby byly všechny stejné, šlo by o rovnostranný, ale toto je rovnoramenný, ne rovnostranný trojúhelník. Jsou-li úhly u základny stejné, pak odpovídající strany budou stejné. Tyto dvě strany jsou stejné, je to rovnoramenný trojúhelník. Jak nám to pomůže najít délku stran? Řeknete-li, že tato strana má délku x, pak i tato strana má délku x. Je-li tato strana délky x, pak i tato strana je délky x. Teď bychom mohli použít Pythagorovu větu. Můžeme říct, že toto 'x na druhou' plus toto 'x na druhou' se rovná 'přepona na druhou', což je '1 na druhou'. Nebo bychom mohli psát, že 2 krát 'x na druhou' se rovná 1. Tedy že 'x na druhou' se rovná (1 lomeno 2). Když odmocníme obě strany, dostaneme, že x se rovná 1 lomeno (odmocnina ze 2). Lidé nemají rádi odmocninu ve jmenovateli, raději tam mají racionální číslo, takže bychom mohli jmenovatel racionalizovat, vynásobíme to 'odmocnina ze 2' lomeno 'odmocnina ze 2'. Což bude 'odmocnina ze 2' v čitateli a ve jmenovateli budeme mít… 'odmocnina ze 2' krát 'odmocnina ze 2' je rovno 2. Už teď jsme zjistili někoilk zajímavých věcí: velikost úhlu ABD v radiánech, délku úsečky AD a délku úsečky BD. Teď bych rád zjistil hodnoty funkcí sinus, kosinus a tangens úhlu π lomeno 4, za pomoci té práce, kterou jsme udělali. Zamysleme se nejdříve, kolik je sinus… Uděláme to oranžově. Za pomoci toho, co jsme udělali doposud, kolik je sinus (π lomeno 4)? Znovu vás vyzývám, pozastavte video, promyslete si goniometrické funkce definované na jednotkové kružnici a promyslete si, kolik to je. Definice goniometrických funkcí… Těchto (π lomeno 4) radiánů tvoří úhel s osou x a tam, kde jeho rameno protne jednotkovou kružnici… Souřadnice 'x' a 'y' tohoto bodu určí kosinus a sinus toho úhlu. x-ová souřadnice tohoto bodu bude kosinus (π lomeno 4) radiánů a sinus (π lomeno 4) radiánů bude y-ová souřadnice. Kolik bude y-ová souřadnice, chceme-li sinus (π lomeno 4)? Bude to tato délka zde, která je stejná jako tato délka, která je stejná jako délka x, což je (odmocnina ze 2) lomeno 2. Kolik je tedy kosinus (π lomeno 4)? Ještě jednou, pozastavte si video a zamyslete se nad tím. Ta x-ová souřadnice. Co je x-ová souřadnice? x-ová souřadnice je tato délka, což je opět x, což je (odmocnina ze 2) lomeno 2. Teď, kolik bude tangens (π lomeno 4)? Tangens je jen sinus lomeno kosinus. Oba dva jsou to samé, (odmocnina ze 2) lomeno 2. (odmocnina ze 2) lomeno 2 lomeno (odmocnina ze 2) lomeno 2, to bude 1. To dává smysl, protože tangens toho úhlu je směrnice té přímky. Směrnici hned vidíme. Za každé 'x' horizontálně se posuneme o 'x' vertikálně. Takže změna v 'y' ku změně v 'x' je vlastně (x lomeno x), což je 1.