Základní goniometrické funkce
Přihlásit se
Základní goniometrické funkce (14/14) · 10:43

Transformace grafu funkce kosinus Video velmi podobné tomu předchozímu. Zajímá nás, jak se změní graf funkce kosinus, pokud je argument přenásoben jednou třetinou a celá funkce přenásobená minus 2,5.

Navazuje na Úvod do goniometrických funkcí.
Máme udělat graf pro funkci y rovno -2,5 krát kosinus z x/3 na intervalu od 0 do 6π, ve kterém jsou zahrnuty i krajní body. Takže teď to zkusím udělat co nejlépe. A začnu s tím, že udělám graf té nejjednodušší funkce, jednodušší verze tohoto nebo také základu tohoto, což je kosinus z x. Takže nejdřív to nakreslím a pak… Nejdřív to nakreslím. Takže tohle je osa y. A chci tu mít dost místa, abych nakonec mohl udělat graf toho celého. Řekněme, že tohle je -1, tohle -2. Tohle bude 1, tohle 2. A řekněme, že tady bude 2π. Takže pí pak samozřejmě bude tady. A nejprve… Radši to zkopíruju, abych to později mohl použít pro nakreslení celého grafu. Tak začněme. Takže nejdřív udělám graf pro y rovno cos(x). Takže když se x rovná 0… A udělám to jen mezi 0 a 2π. Je to očividně periodická funkce, v záporném i kladném směru to bude pokračovat. Takže co se stane, když je x rovno 0? Kolik je pak kosinus z x? No kosinus z 0 je 1. A co když je x rovno π? Kolik je cos(π)? Kosinus z π je -1. A kolik je kosinus z 2π? To je znovu 1. Dokončili jsme periodu neboli celý ten cyklus. A 2π je perioda funkce kosinus. Takže tohle je jeden cyklus. Takhle bych mohl dál pokračovat, ale já chtěl nakreslit jen ten jeden cyklus mezi 0 a 2π. No a teď chci zjistit, co se stane tomuto grafu. Místo grafu pro y rovno cos(x)… Zase sem přidám základ pro graf. Místo grafu pro y rovno cos(x) budu dělat graf pro y rovno cos(x/3). Takže jediný rozdíl mezi nimi je ten, že tentokrát x násobíme 1/3. Co se stane tomuto grafu? Jak se to změní, když tu místo ,x' budeme mít x/3? Co se tu stane? A teď to udělám přes celý interval mezi 0 a 2π. Nejdřív se ujistím, že mám dost místa. Takže to je 3π, 4π, 5π a 6π. Co se stane tomu grafu? No, je víc způsobů, jak nad tím přemýšlet. Nejlehčí asi bude říct, že abychom dokončili ten cyklus, musíme jít 1/3 krát rychleji. Neboli třikrát pomaleji. Pokud chcete promyslet tu periodu, jaká je perioda kosinu z třetiny x? Ta perioda bude 2pí děleno absolutní hodnotou tohoto koeficientu. Takže to je absolutní hodnota 1/3, což je 1/3. Takže perioda je (2π lomeno 1/3), což je to samé jako 2π krát 3, což je 6π. A to odpovídá naší intuici. Bude to trvat třikrát déle, než se dostaneme zpět do 2π. Protože ať vezmeme jakékoli x, vezmeme z něj pak 1/3. Takže abychom se dostali k 2π, nestačí mít x rovno 2π. x bude muset být rovno 6π, aby bylo 2π vloženo do kosinové funkce. Takže perioda je teď 6π. Pro x rovno 0, 1/3 krát 0 je 0 a kosinus z 0 je 1. Když x je rovno 6π, tak 6pí děleno 3 je 2π. A kosinus z 2π je 1. A když chceme zkusit to mezi, tak zkusíme π. A tady bychom mohli zkusit 3π. Když x je 3π, máme kosinus z třetiny z 3π, tedy kosinus z π. Kosinus z π je 1. Takže když x je rovno 3π, máme kosinus z (1/3 krát 3π), což je -1. Takže to bude vypadat nějak takhle. To je můj nejlepší pokus o dobrý obrázek. Takže to bude vypadat nějak takhle. Takže vidíte, že abychom se z y rovno cos(x) dostali do y rovno cos(x/3), musíme tuhle funkci roztáhnout "třikrát". Je vidět, že perioda je třikrát delší. Tady byla perioda 2π. No a teď zbývá jen jedna změna, abychom měli tu funkci, kterou po nás chtějí na začátku. Takže teď to místo samotného kosinu z třetiny x budeme násobit -2,5. Pokusme se to nakreslit. Dám si sem osy. A popíšu to. Takže tohle je 2π, 3π, 4π, 5π a 6π. A naším cílem teď je udělat graf pro y… A budeme to dělat jen mezi 0 a 6π. Tady jsme to dělali jen mezi 0 a 2π. Všechny jsou samozřejmě periodické a pokračují dál. Ale teď chceme udělat graf pro y rovno -2,5 krát kosinus z třetiny x. Takže teď máme tuto změnu, násobíme -2,5, jak to bude… No, nejdřív radši promysleme pár věcí. Jaká byla amplituda v těchto prvních dvou grafech? Jsou dva způsoby, jak to chápat. Můžete říct, že amplituda je polovina rozdílu minima a maxima. V obou těchto případech je minimum -1 a maximum 1. Rozdíl je 2, polovina z toho je 1. Anebo můžete říct, že to je absolutní hodnota tohoto koeficientu, což je 1. Takže znovu, absolutní hodnota z 1 je 1. Jaká bude amplituda tohoto? No amplituda bude absolutní hodnota toho, čím násobíme kosinus. Takže amplituda v tomto případě… Udělám to zeleně. Amplituda bude rovna absolutní hodnotě z -2,5, což je 2,5. Takže když to víme, jak násobení -2,5 změní tento graf? Pojďme se nad tím zamyslet. Kdyby to bylo násobení 2,5, tak by se to protáhlo. V každém bodě by to bylo (2 a půl) krát výš. Ale je to -2,5, takže se to v každém bodě protáhne a ještě přehodí přes osu x. Takže to pojďme udělat. Když x bylo 0, měli jsme v tomto případě 1. Ale teď se to násobí -2,5, takže budeme mít -2,5. Takže sem zakreslím -2,5. To je -2,5. Tohle bude… Ujasním to. Tady je -3, tady je 3. Takže tohle číslo je -2,5. A nakreslím sem tečkovanou čáru. Mohlo by to být užitečné. Teď když cos(x/3) je 0, tak nezáleží na tom, čím se to násobí. Stále zde budeme mít 0. A teď, když kosinus z třetiny x byl -1, což byl ten případ, kde x bylo 3pí, tak co se tady stane? No kosinus z třetiny x je zde -1. -1 krát -2,5 je 2,5. Takže se dostaneme do 2,5, což… Udělám sem tečkovanou čáru. Budeme mít 2,5, což je tady. A pak když kosinus ze třetiny x je 0, tak nezáleží, čím to násobíme, stále je to 0. A nakonec když x je 6π, tak kosinus třetiny x je 1. Kolik to pak bude, když to vynásobíme -2,5? Bude to -2,5. Takže se dostaneme sem. Takže jsme připraveni nakreslit náš graf. Bude to vypadat… Udělám to fialově, když už jsem tak začal. Bude to vypadat takhle. Nakreslím to jako souvislou křivku. Takže to bude vypadat takhle. Takže jste viděli, co se stalo. Tím, že jsme sem dali 1/3, se graf roztáhl. Zvětšilo to periodu třikrát. A potom tím, že jsme to násobili… Pokud bychom to násobili jen 2,5, tak by se to jen roztáhlo. Ale my to máme záporné, takže nejen že se zvětší amplituda, ale také se to přehodí. Takže tady je opravdu amplituda 2,5. Od střední pozice se lišíme až o 2,5. Nebo můžete říct, že rozdíl mezi minimem a maximem je 5, takže polovina z toho je 2,5. Ale není to jen násobení 2,5. Kdybychom to násobili 2,5, tak by… Budu trochu pečlivější. Dostali bychom něco takového. Ale protože jsme to měli záporné, museli jsme to přehodit přes osu x. A dostali jsme tohle. Takže amplituda je 2,5, ale je to zrcadlový obraz tohoto grafu.
video