Základní goniometrické funkce
Přihlásit se
Základní goniometrické funkce (12/14) · 8:21

Amplituda a perioda funkce z předpisu Ukážeme si, jakým způsobem můžeme z předpisu nebo grafu goniometrické funkce zjistit její amplitudu a periodicitu.

Navazuje na Úvod do goniometrických funkcí.
Měli bychom zjistit amplitudu a periodu funkce y se rovná -1/2 krát kosinus ze 3x. První věc, nad kterou se musíme zamyslet, je: Co vůbec amplituda znamená? Amplituda periodické funkce je vlastně polovina rozdílu její minimální a maximální hodnoty. Takže když nakreslím takovouto periodickou funkci, která se bude pohybovat tam a zpět… …nakreslím to trochu lépe… …tam a zpět mezi dvěma hodnotami. Takže mezi těmito dvěma hodnotami, když si vezmete jejich rozdíl, tak jeho polovina je amplituda. Další způsob, jak si amplitudu představit, je, jak moc se mezní hodnoty liší od střední hodnoty. Tady tedy máme, že y se rovná -1/2 krát kosinus ze 3x. Jaká tedy bude amplituda? Nejjednodušší způsob, jak si to představit, je zjistit, čím se kosinus násobí. A bylo by to stejné i pro sinus. Násobí se -1/2, takže amplituda v tomto případě bude absolutní hodnota z -1/2, což se rovná 1/2. Mohli byste si teď říct: "A proč nás nezajímá znaménko?" Proč používáme absolutní hodnotu? Minus celou funkci jen otočí a nezmění to, jaký je rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou. A za druhé, proč to je jednoduše absolutní hodnota tohoto? Uvědomíte si to, když si představíte hodnotu funkce sinus nebo kosinus, která plynule běhá mezi 1 a -1, pokud ta funkce není nějak složená. Toto nám tu 1 nebo -1 jen násobí, takže kdyby zde normálně bez jakéhokoliv koeficientu… …kdyby koeficientem bylo jen 1 nebo -1, amplituda by byla 1. Tady to ale měníme, násobíme to touto hodnotou, takže amplituda bude 1/2. Nyní se zamysleme nad periodou. První věc, na kterou bych se chtěl zeptat, je, co vůbec perioda cyklické funkce… …nebo raději periodické funkce… …co tedy perioda u periodické funkce vůbec znamená? Nakreslím teď na tuto funkci nějaké osy. Toto pro nás bude osa y. Tohle je osa y. A tomuto teď budeme říkat osa x. Perioda u periodické funkce je pro nás tedy délka nejkratšího možného intervalu, který obsahuje jednu celou kopii opakujícího se vzoru té periodické funkce. Co je to v tomto případě? Co se opakuje? Tady funkce klesá a tady zase roste a potom klesá a zase roste. Takže v tomto případě je to délka nejkratšího intervalu, který obsahuje přesně jednu kopii toho vzoru. To by mohlo být tady. A tudíž tato délka odsud až sem by byla jedna perioda. Potom bychom mohli odsud sem a to by byla další perioda. A našli bychom jich ještě mnoho. Můžete si říct, že váš vzor bude začínat tady, odsud nahoru a pak takto dolů. Takže byste řekli, že to je ta nejkratší, a tvrdili byste, že v opačném směru by další opakující se verze toho vzoru byla přímo tady. V každém případě vám vždy vyjde stejná délka, která je potřeba na zopakování toho vzoru. Když už toto víme, jaká je perioda této funkce? Abychom to zjistili, vezmeme si 2π a vydělíme to absolutní hodnotou tohoto koeficientu. Budeme tedy dělit absolutní hodnotou 3, což je 3, a vyjde 2π lomeno 3. Zamysleme se, proč to funguje? Když si představíte samotnou funkci kosinus nebo samotnou funkci sinus, tak ta má periodu 2π. Když si představíte jednotkovou kružnici a začnete od počátku, o 2π radiánů později jste zpět tam, kde jste začali. 2π radiánů, znovu 2π radiánů a jste zpět, kde jste začali. Když půjdete opačným směrem, -2π radiánů, jste tam, kde jste začali. Ať už začnete kdekoliv, přičtěte 2π radiánů a jste tam, kde jste začali. Přičtěte -2π radiánů, jste tam, kde jste začali. Perioda obou těchto funkcí je tedy 2π. A důvod, proč i toto dává smysl, je, že tento koeficient vás do 2π nebo -2π… …v tomto případě do 2π… …dostane mnohem rychleji. Perioda bude jen třetinová, je to kratší cesta, do 2π se dostanete třikrát rychleji. Teď si můžete říct: "Proč tu počítáme s absolutní hodnotou?" Protože kdyby se jednalo o záporné číslo, dostali bychom se k -2π mnohem rychleji. V každém případě je třeba dokonat celou jednu otočku. Když je toto jasné, pojďme si něco představit. Pojďme si opravdu nakreslit -1/2 krát kosinus ze 3x. Nakreslím si tady ty osy. Lépe to asi nepůjde. Tohle je osa y. A tohle je osa x. A tohle je… Tady je teď 0. x je rovno 0. A tady nakreslím, že x je rovno 1/2. Nakreslím to tady. x je rovno +1/2. A s touto funkcí jsme nehýbali nahoru ani dolů. Mohli bychom sem přidat konstantu mimo funkci kosinus. Ale tohle je +1/2, napíšeme tedy jen 1/2. A tady dole, tohle je -1/2. Jen si to tady ohraničím. Tyto tečkované čáry si kreslím jen pro usnadnění. A co se stane, když bude hodnota 0? Kosinus z 0 je 1, ale my to vynásobíme -1/2. Takže tady bude -1/2. A tady to začne růst. Jinam to ani jít nemůže. Je to omezená funkce. Hodnota bude růst a pak zase klesne. A nakonec se dostane na původní hodnotu přímo tady. Otázka zní, jaká je tato vzdálenost? Tato délka? Kolik to bude? My známe periodu. Je to 2π lomeno 3. A dostane se to sem třikrát rychleji než samotná funkce kosinus. Takže tady bude 2π lomeno 3. A když přidáme znovu 2π lomeno 3, dostaneme se do stejného místa, když znovu přidáme 2π lomeno 3, v tomhle případě jsme už urazili (4π lomeno 3) a dokončili jsme další cyklus. Takže tato délka je perioda. A stejně by to fungovalo i opačným směrem. Tohle by jen bylo záporné, -2π lomeno 3. A abychom si znázornili amplitudu, vidíte, že funkce dosáhne na 1/2, a můžete to chápat dvěma způsoby. Rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou je 1. Polovina z 1 je 1/2. Anebo můžete říct, že se funkce nejvíce vychyluje o 1/2 od středové polohy, ať už v kladném nebo záporném směru.
video