Vzorce pro goniometrické funkce
Přihlásit se
Vzorce pro goniometrické funkce (2/7) · 6:15

Pythagorova identita - příklad Známe interval, ve kterém se má nacházet úhel a sinus tohoto úhlu. Naším úkolem je vypočítat jeho sinus. Jak na to? Stačí znát pythagorovu identitu neboli goniometrickou jedničku.

Navazuje na Základní goniometrické funkce.
Řekněme, že máme nějaký úhel θ (theta), který je vyjádřen v radiánech a nachází se mezi '-3π lomeno 2' a '-π'. Je větší než -3π lomeno 2 a je menší než -π. A také víme, že sinus θ se rovná 1/2. Jen z této informace můžeme zjistit, čemu se bude rovnat tangens θ. Doporučuji vám, abyste si zastavili video a zkusili tangens najít sami. Jste-li zmateni, dám vám malou nápovědu. Měli byste použít Pythagorovu identitu: 'sinus na druhou θ' plus 'kosinus na druhou θ' se rovná 1. Pojďme na to. Víme tedy Pythagorovu větu, sinus na druhou θ plus kosinus na druhou θ se rovná 1. Víme, čemu se 'sinus na druhou θ' rovná. Sinus θ je 1/2. Napíšeme tedy: '(1/2) na druhou' plus 'kosinus na druhou θ' se rovná 1. Nebo můžeme napsat, že '1/4' plus 'kosinus na druhou θ' se rovná 1. Nebo můžeme odečíst 1/4 z obou stran, a dostaneme kosinus na druhou θ se rovná... Odečtete 1/4 z levé strany, takže tato 1/4 zmizí. O to nám jde. 1 minus 1/4 jsou 3/4. Takže co by mohl kosinus θ být? Když ho umocním na druhou, dostanu 3/4. Takže by to mohla být kladná, nebo záporná odmocnina čísla 3/4. Tedy kosinus θ může být roven kladné nebo záporné odmocnině z 3/4. Což je to samé jako kladná nebo záporná odmocnina ze 3 lomeno odmocnina ze 4, což jsou 2. Máme tedy 'kladnou nebo zápornou odmocninu ze 3' lomeno 2. Ale jak víme, která z nich to je? K tomu nám pomůže tato informace. Namalujeme si jednotkovou kružnici. Ptáte se, proč se mám zajímat o kosinus θ? Když znáte sinus θ, pak znáte i kosinus θ. Tangens θ je jen (sinus θ lomeno kosinus θ). Takže zjistíte tangens θ. Ale podívejme se na jednotkovou kružnici, abychom zjistili, kterou hodnotu kosinu máme použít. Nakreslím tu jednotkovou kružnici. Tohle je moje osa y. Tohle je moja osa x. Jednotkovou kružnici namaluji růžovou. Opravdu se snažím namalovat kruh, omluvte mě, že není dokonale kulatý. Vidíme, že θ je mezi… Je větší než -3π lomeno 2. Kde je -3π lomeno 2? Toto je -π lomeno 2, to je tedy jedna stranu úhlu. Použiji barvu… Tato strana úhlu se bude nacházet na kladné straně osy x. A chceme zjistit, kde se nachází druhá strana. Tady máme -π lomeno 2. Toto je -π. Takže hledaný úhel je mezi -π, které je tady. Abych to ujasnil, -π se nachází zde. Úhel je mezi -π a '-3π lomeno 2'. '-3π lomeno 2' je zde. Takže náš úhel θ bude někde tady. A to, proč jsem to všechno dělal... Tento kruh, můžete o něm přemýšlet, jako o měřítku úhlu θ. A důvod, proč jsem to dělal, byl zjistit, jestli bude kosinus θ kladný, nebo záporný. Jasně vidíme, že se nachází ve druhém kvadrantu. Kosinus θ je x-tá souřadnice tohoto bodu, kde náš úhel protíná jednotkovou kružnici. Takže tento bod... Použiji oranžovou barvu. Tento bod, to je kosinus θ. Má kladnou, nebo zápornou hodnotu? Rozhodně má zápornou hodnotu. V našem případě kosinus θ není 1, nýbrž -1. Napíšeme, že kosinus θ se rovná 'minus odmocnina ze 3' lomeno 2. Vyřešili jsme kosinus θ, ale pořád neznáme tangens θ. Stačí si připomenout, že tangens θ se rovná sinus θ lomeno kosinus θ. Víme, že sinus θ je 1/2. Takže 1/2 děleno kosinus θ, což je 'minus odmocnina ze 3' děleno 2. 'minus odmocnina ze 3' děleno 2. A to se rovná čemu? Je to stejné, jako 1/2 krát převrácená hodnota tohoto. Takže krát -2 děleno odmocnina ze 3. Dvojky se vyruší a zůstane nám -1 lomeno odmocnina ze 3. Někteří lidé nemají rádi odmocninu ve jmenovateli, jako je tady. Nemají rádi iracionální jmenovatel. Můžeme ho tu tedy usměrnit vynásobením 'odmocnina ze 3' lomeno 'odmocnina ze 3'. To se rovná 'minus odmocnina ze 3' lomeno 3, a to je tangens tohoto úhlu. A to dává smysl, protože tangens úhlu je sklon této přímky. A vskutku vidíme, že se jedná o záporný sklon.
video