Použití součtových vzorců: nalezení délky strany

V tomto videu bych rád využil znalostí trigonometrických funkcí a identit k tomu, abychom na základě daných informací zjistili délku této žluté úsečky. Vyzývám vás, pozastavte video a pokuste se na to přijít sami. Předpokládám, že jste tak učinili. Během toho jste si mohli uvědomit, že tato úsečka je jednou ze stran tohoto pravoúhlého trojúhelníku. Máme tu úhly α [alfa] a β [beta]. Vezmeme-li v potaz celý úhel, α plus β, pak tu stranu určíme z klasických trigonometrických funkcí. Ze známé definice víme, že sinus je „protilehlá ku přeponě“. Předpokládáme-li tedy celý úhel α plus β. „protilehlá ku přeponě“. Toto bude délka této strany, lomeno délkou přepony, která je 1. sin(α plus β) bude tato délka zde. To se zdá být zajímavé, zapíšu to. sin(α plus β) je přesně to, co hledáme. sin(α plus β) je tato délka zde. sin(α plus β) je roven délce protilehlé strany ku přeponě. Přepona je rovna 1, sin(α plus β) je tedy toto. To stejné zadání by mohlo znít, čemu je rovno sin(α plus β)? Jste-li obeznámeni s trigonometrickými identitami, něco by vás mohlo napadnout. Chcete nějak zjistit sinus (α plus β). Víme, že to je stejné jako sin(α)cos(β) plus cos(α)sin(β). Nakreslím zde čáru, ať nás to neplete. Snažíme-li se zjistit toto, a víme, že se to dá přepsat jinak, problém se zjednoduší na zjištění, čemu je rovno sin(α), cos(β), cos(α) a sin(β). Podíváte-li se sem, zjistíte, že na to snadno přijdeme. Pojďme na to. sin(α), napíšu to sem. sin(α) je rovno… Toto je α, sinus je „protilehlá ku přeponě“. Je to 0,5 ku 1. To je rovno 0,5. cos(β). Toto je β, kosinus je „přilehlá ku přeponě“. Toto je β, přilehlá je 0,6, přepona je 1. Je to 0,6. cos(α). „Přilehlá ku přeponě“. (Odmocnina ze 3) lomeno 2, to celé lomeno 1. To je (odmocnina ze 3) lomeno 2. (odmocnina ze 3) lomeno 2. Konečně sin(β). „Protilehlá ku přeponě“. To je 0,8. Vlastně to napíšu jako (4 lomeno 5), to je to stejné jako 0,8. Myslím si totiž, že to pak bude snazší na zjednodušení. Čemu je toto všechno rovno? Toto bude 0,5 krát 0,6. To je rovno 0,3. (odmocnina ze 3) lomeno 2, krát (4 lomeno 5). Vynásobme. 4 lomeno 2 je 2. Je to 2 krát (odmocnina ze 3) lomeno 5. …plus 2 krát (odmocnina ze 3) lomeno 5. Toto je vlastně výsledek. Je mi nepříjemné, že je to v různých stylech zápisu. Zde mám zlomek a tady desetinné číslo, přepíšu to tedy celé do tvaru zlomku. 0,3 je samozřejmě rovno (3 lomeno 10). …plus 4 krát (odmocnina ze 3) lomeno 10. Sečteme-li to, máme 3 plus 4 krát (odmocnina ze 3), to celé lomeno 10. A jsme hotovi.