Definiční obor a obor hodnot inverzní funkce tangens

Mějme g(x) rovno tangens x minus 3π/2 plus 6. Najděte inverzní funkci k g(x). Chtějí, abychom to napsali sem a pak ještě chtějí, abychom zjistili, jaký je definiční obor funkce inverzní ke g, definiční obor g⁻¹(x). Mám tady svůj poznámkový bloček, ve kterém se to pokusíme vyřešit. Zjistěme tedy, co je g⁻¹(x). Toto je g(x), takže g⁻¹(x)… Pojďme si to prvně přečíst, toto je g(x). g(x) je rovno tangens x minus 3π/2 plus 6. Inverzní funkce k g(x), to můžu jednoduše vyměnit… Nahradím x funkcí g⁻¹(x) a g(x) nahradím proměnnou x a pak spočítám g⁻¹(x). Můžu napsat, že x je rovno tangens g⁻¹(x) minus 3π/2 plus 6. Teď tedy spočítejme g⁻¹(x). Zastavte si video a pokuste se to vyřešit sami. Odečteme 6 od obou stran, abychom se zbavili té 6 tady. Takže dostaneme x minus 6 je rovno tangens g⁻¹(x) minus 3π/2. Teď aplikujme funkci inverzní k tangens na obě strany rovnice. Takže inverzní tangens levé strany je inverzní tangens x minus 6 a na pravé straně inverzní tangens funkce tangens… Když správně omezíme definiční obor, a o tom budeme mluvit za chvíli, dostaneme to, co je tady argumentem funkce tangens. Takže pokud správně omezíme definiční obor, inverzní tangens funkce tangens s argumentem, řekněme, například théta, bude roven théta. Ještě jednou, pokud omezíme definiční obor, pokud omezíme možné hodnoty théta tím správným způsobem. Předpokládejme tedy, že presně to děláme, takže inverzní tangens tohoto tangens bude roven tomuto tady. Bude to tedy g⁻¹(x) minus 3π/2. A teď už finišujeme. Abychom spočítali g⁻¹(x), stačí přičíst 3π/2 k oběma stranám. Takže dostáváme, a jenom prohodím strany, dostáváme g⁻¹(x) je rovno inverzní tangens x minus 6 A pak přičítáme 3π/2 k oběma stranám, a tato strana je teď tady, takže plus 3π/2. Pojďme to tedy zapsat, uvidíme, jestli si to zapamatuju, protože neuvidím tuto obrazovku, takže inverzní tangens x minus 6 plus 3π/2. Zapíšeme to tedy. g⁻¹(x) bude inverzní tangens, můžu to napsat takto, inverzní tangens x minus 6, interpretovalo se nám to správně, inverzní tangens je arkustangens x minus 6 plus 3π/2, opět interpretováno správně. Ale teď se musíme zamyslet nad tím, jaký je definiční obor g⁻¹. Jaký je definiční obor g⁻¹(x)? Zamysleme se nad tím trochu. Definiční obor g⁻¹(x), zapřemýšlejme nad tím, jak vypadá tangens. Funkce tangens, když si představíme jednotkovou kružnici, toto je jednotková kružnice. Můžeme si to tak alespoň představovat. Moje tužka se chová trochu divně, mám tu nějaké mezery a tak, ale to zvládneme. Řekněme tedy, že toto je jednotková kružnice, toto je osa x a toto je osa y. Když vytvoříme úhel théta… Když vytvoříme nějaký úhel théta, tangens théty bude jednoduše směrnice koncového ramena toho úhlu. Neboli…Myslím, že tomuto můžeme říkat koncové rameno úhlu. Úhlu tvořeného tímto ramenem a ramenem souběžným s kladnou osou x. Tangens théty je tedy tato směrnice a můžeme určit tangens téměř každé théty až na pár výjimek. Můžeme určit tangens tohoto, určit tuto směrnici, určit tuto směrnici, můžeme určit i tuto směrnici nebo tuto. Neumíme ale najít směrnici, když toto rameno jde přímo vzhůru, nebo přímo dolů. To jsou ty případy, kdy neumíme určit směrnici. Směrnice, o kterých lze říct, že se blíží kladnému nebo zápornému nekonečnu. Takže definiční obor funkce tangens… Definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě násobků π lomeno… Můžeme říct π/2 plus násobky π, kromě π/2 plus násobky π, kde k může být jakékoli celé číslo, takže můžeme i odčítat π. Protože když máme π/2 a přičteme π, dostaneme se sem. Přičteme další π, dostaneme se sem, když odečteme π, budeme tady, odečteme další π, budeme tady. Toto je definiční obor, ale s tímto definičním oborem můžeme jako výsledek dostat jakékoli reálné číslo. Takže obor hodnot jsou všechna reálná čísla, protože tady můžeme mít jakoukoli směrnici, můžeme zvyšovat thétu, pokud chceme prudší směrnici, snížit thétu, když chceme hodně zápornou směrnici tady. Opravdu můžeme jako výsledek dostat cokoli. Když teď chceme inverzní tangens, budeme muset... Abychom mohli vytvořit funkci inverzní k tangens, nesmí se nám více hodnot z definičního oboru zobrazit na stejnou hodnotu z oboru hodnot, protože například… Tento úhel tady má stejnou směrnici jako tento úhel tady. Kdybychom měli dvě théty se stejnou hodnotou tangens, kdybychom neomezili definiční obor tak, aby nám zůstala jen jedna z nich, nemůžeme vytvořit inverzní funkci. Abychom tedy mohli vytvořit inverzní tangens, omezíme definiční obor na interval od -π/2 do π/2, abychom mohli vytvořit inverzní tangens. Inverzní tangens jde spočítat pro všechna reálná čísla, takže definiční obor inverzního tangens, a je to prostě jenom zvyk… Mohli bychom omezit definiční obor jinak, jen aby platilo, že každá théta z definičního oboru se zobrazí na jinou hodnotu z oboru hodnot, ale zvykem je, že inverzní tanges… Zvykem je omezit definiční obor funkce tangens mezi -π/2 a π/2. Definiční obor inverzního tangens jsou tedy všechna reálná čísla, ale jeho obor hodnot je omezený. Jeho obor hodnot je tradičně od -π/2 do π/2 bez krajních bodů. Pojďme zpátky k naší původní otázce. Jaký je definiční obor g⁻¹? Podívejme se na definiční obor g⁻¹. Definiční obor tohoto… Můžu sem dosadit jakékoli reálné číslo. Jako výsledek nám to dá něco mezi -π/2 a π/2, ale oni se nás neptají na obor hodnot g⁻¹. To by vlastně byla zajímavější otázka. Ptají se nás na definiční obor g⁻¹ a my tady můžeme dosadit za x jakékoli reálné číslo, tak to tady napišme. Takže definiční obor g⁻¹(x) je od-∞ do ∞, ale teď jen tak pro zajímavost, ověřme si, že to máme správně, ano, máme. Ale jen tak pro zajímavost, jsem zvědavý, jaký je obor hodnot g⁻¹. Obor hodnot tohoto bude -π/2 až π/2, to máme pro tuto část, a pak k tomu přičteme 3π/2. Takže obor hodnot celé funkce, obor hodnot tohoto bude… Spodní hranice po přičtení 3π/2 bude 2π/2, což bude… 3π/2 minus π/2 bude 2π/2, což je prostě π, od π do 3π/2 plus π/2, což bude 4π/2, neboli 2π. Takže obor hodnot g⁻¹ je od π do 2π a je to otevřený interval, neobsahuje krajní body, ale definiční obor… Můžeme sem dosadit za x cokoli a vždy to bude definováno.