Základní operace s mnohočleny
Přihlásit se
Základní operace s mnohočleny (24/26) · 6:22

Řešení kvadratických rovnic rozkladem Zde jsou ukázány dva přístupy k řešení kvadratické rovnice pomocí rozkladu na součin.

Máme vyřešit následující rovnici pro ‚s‘. s na druhou minus 2s minus 35 se rovná 0. Jestli je tohle poprvé, co vidíte tento typ kvadratické rovnice, tak můžete být v pokušení vyřešit ji pomocí běžných algebraických prostředků. Ovšem nejlepší způsob řešení, navíc když je pravá strana rovna 0, je rozložit její levou stranu a pak si uvědomit, že ty dva lineární členy, na něž jste ji rozložili, se musí rovnat 0. Tak to pojďme zkusit. Jak to můžeme rozložit? Viděli jsme již několik způsobů. Ukážu vám standardní způsob, jímž jsme to dělali pomocí vytýkání a pak si pomůžeme drobnou zkratkou, protože zde máme 1 jako koeficient. Když vytýkáte, když rozkládáte pomocí vytýkání, tak musíte přijít na dvě čísla, jejichž součet je roven -2. Takže hledáte dvě čísla, jejichž součet, a plus b, se rovná -2 a jejichž součin se rovná -35, a krát b se rovná -35. Pokud je součin záporné číslo, jeden činitel musí být kladný a druhý záporný. Hledáme čísla, která by byla od sebe vzdálená o 2, takže třeba 5 a -7, to by myslím šlo. 5 plus -7 se rovná -2. Při vytýkání rozdělíme tento prostřední člen. Rozdělíme ho… Napíšu to takto. Máme s na druhou a pak tenhle prostřední člen tady. Vyznačím ho růžovou. Tenhle prostřední člen tady můžu napsat jako 5s minus 7s a potom tu máme -35. No a všechno se samozřejmě rovná 0. Při vytýkání členy slučujeme do dvou skupinek. Slučme tedy tyto dva členy. Tyto první dva členy mají společný činitel s. Vytkněme ho. Takže máme s krát (s plus 5). To je to samé, co s na druhou plus 5s. V těchto druhých členech je společný činitel -7, vytkneme ho též. Máme -7 krát (s plus 5). A samozřejmě vše se rovná 0. Teď máme dva členy a oba mají (s plus 5) jako činitel. Tak ho můžeme vytknout. Pojďme na to. Máme (s plus 5) krát tohle ‚s‘ tady, vidíte? (s plus 5) krát s dá dohromady tento člen. A pak tu máte tuto -7. Vytkneme (s plus 5). A to všechno se rovná 0. Když jsme to rozložili, musíme se chvilku zamyslet, co se děje, když máte součin dvou čísel. Tím chci říct, že (s plus 5) je vlastně číslo a (s minus 7) je další číslo. Tahle rovnice říká, že součin těchto čísel je roven 0. Kdybych vám řekl, že mám dvě čísla, že mám a krát b, a že se rovnají 0, co můžeme říct buď o ‚a‘ nebo o ‚b‘ nebo o obou? Že alespoň jedno z nich je 0, či dokonce že obě jsou rovné nule. To, že toto číslo krát toto číslo se rovná 0, znamená, že buď (s plus 5) je rovno 0, či oba členy, nebo (s minus 7) je rovno 0. Vyznačím to zeleně. Máte tyhle dvě rovnice a ve skutečnosti bychom mohli říct a/nebo. Může to být ‚a‘ nebo ‚b‘, obě dvě by mohly být 0 zároveň. Podívejme se, jak bychom to mohli vyřešit. Můžeme odečíst 5 z obou stran této rovnice. Na levé straně nám zbude ‚s‘ a to se rovná -5. To je řešení první rovnice. Pak můžeme přičíst 7 k obou stranám této rovnice a máme: s rovná se 7. Tedy s rovná se -5 nebo s je 7, a tím jsme splnili tuto rovnici. Můžeme si to ověřit. Pokud dosadíme -5 za s, pak máme 25 plus 10, což je 35, minus 35, se rovná 0. Pokud dosadíme 7, 49 minus 14 minus 35 rovná se 0. Vyřešili jsme to pro ‚s‘. Na začátku jsem mluvil o zkratce. Pokud máte něco takového, kde je u prvního členu 1 jako koeficient, pak nemusíte dělat tento dvoukrokový rozklad. Ukážu vám příklad. Pokud mám (x plus a) krát (x plus b), tak čemu se to rovná? x krát x je x na druhou, x krát b je bx, a krát x je ax, a krát b je ab. Máme x na druhou plus, tyhle dva členy můžeme sečíst, (a plus b)x plus ab. A to je něco jako máme tady. První člen má koeficient 1. Jakmile získáme čísla, jejichž součet je -2, což je naše (a plus b), a jejichž součin je -35, pak můžeme rovnou rozkládat na součin těchto dvou částí. Čili součin dvou lineárních členů, kde tohle budou ‚a‘ a ‚b‘. Máme to. Je to 5 a -7. 5 plus -7 jsou -2. 5 krát -7 je -35. V tomhle okamžiku jsme mohli rozkládat. Mohli jsme rovnou rozkládat na (s plus 5) krát (s minus 7). Mohli jsme to udělat rovnou a dostali bychom se do cíle přímo. A samozřejmě všechno se to rovná 0. Tohle je tedy zkratka, ale vytýkáním je to také naprosto platný způsob řešení.
video