Soustavy rovnic I
Přihlásit se
Soustavy rovnic I (4/5) · 12:01

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic pomocí eliminace II Zde je navázáno na předchozí video. Znovu je využívána metoda eliminace pro řešení soustavy dvou rovnic, tentokrát již na složitějších příkladech.

Navazuje na Lineární rovnice II.
Vyřešme další soustavy rovnic pomocí eliminace, ale nebudou to takové ty jednokrokové eliminace. Budeme si muset s rovnicemi trochu pohrát, abychom je na eliminaci připravili. Řekněme, že máme rovnici 5x minus 10y se rovná 15. A máme další rovnici 3x minus 2y se rovná 3. Řekli jsme, že to chceme řešit eliminací. Klidně bychom mohli substituovat, mohli bychom to rýsovat a hledat průsečík. Ale my budeme eliminovat. Asi si řeknete: „Hej Sale, při eliminaci jsi odečítal levou stranu jedné rovnice od druhé, nebo jsi je spolu sečetl, a pak jsi sečetl pravé strany.“ A to jsem mohl udělat, protože to bylo přičítání té samé věci k oběma stranám. Ale tady není zřejmé, že by nám to nějak pomohlo. Kdybychom sečetli tyto dvě strany, dostali bychom 8x minus 12y. To by nás nezbavilo žádné proměnné. A na pravé straně by nám zbylo číslo. A kdybyste jej odečetli, nezbavili bychom se proměnné. Takže jak tu pomůže eliminace? A odpověď je, že můžeme vynásobit obě rovnice tak, abychom snad nějaký člen vykrátili. A vlastně si můžete vybrat, kterého členu se chcete zbavit. Řekněme, že se chceme zbavit členu s 'y'. Takže jen přepíšu 5x minus 10y zde. 5x minus 10y se rovná 15. Je tu něco, čím mohu vynásobit tuto zelenou rovnici, aby se z členu '-2y' stal nějaký člen, který by se vykrátil se členem '-10y'? Vlastně chci z tohoto '-2y' udělat '+10y', že? Protože pokud by tohle bylo +10y, vykrátilo by se to, až bych sečetl levé strany rovnic. Takže čím mohu tuto rovnici vynásobit? Kdybych ji vynásobil -5, (-5) krát (-2) by mi dalo (+10). Takže to udělejme. Vynásobme tuto rovnici (-5). Vynásobíte levou stranu (-5) a vynásobíte pravou stranu (-5). Co dostanete? Pamatujte, neměníme podstatu této rovnice. Neměníme informaci v té rovnici. Děláme tu stejnou věc oběma stranám. Takže levá strana rovnice bude (-5) krát 3x je -15x. Pak (-5) krát (-2y) je +10y. To je rovno 3 krát (-5), což je rovno -15. A teď jsme připraveni provést eliminaci. Pokud bychom přičetli tohle k levé straně žluté rovnice a přičetli -15 k pravé straně žluté rovnice, přičítali bychom stejné věci k oběma stranám rovnice. Protože tohle se rovná tomuto. Pusťme se do toho. 5x minus 15x… Máme tady to znaménko minus, to nechceme ztratit. … to je -10x. 'y' se pokrátí. -10y plus 10y se rovná 0y. To je celý smysl toho násobení (-5). Bude rovno 15 minus 15 je 0. Takže -10x se rovná 0. Vydělíme obě strany (-10) a dostaneme 'x' je rovno 0. A teď můžeme dosadit zpět do libovolné rovnice, abychom přišli na to, kolik musí být 'y'. Dosaďme do horní rovnice. Máme 5 krát 0 minus 10y je rovno 15. Nebo -10y je rovno 15. Napíšu to. -10y je rovno 15. Vydělíme obě strany (-10). Zůstane nám 'y' je rovno -(15 lomeno 10). To je -(3 lomeno 2). Kdybyste to chtěli nakreslit, průsečík by byl bod [0, -(3 lomeno 2)] A můžete si ověřit, že také splňuje tuto rovnici. Původní rovnice byla 3x minus 2y se rovná 3. 3 krát 0, což je 0, minus 2 krát (- 3 lomeno 2), To je 0, to je kladná 3, že? Tohle se vykrátí, tohle bude kladné. Plus kladná 3 je rovna 3. Skutečně to splňuje obě rovnice Udělejme další, kde musíme násobit a upravovat rovnice, abychom pak mohli eliminovat jednu proměnnou. Udělejme další. Řekněme, že máme 5x plus 7y se rovná 15. A máme 7… Udělám to jinou barvou. 7x minus 3y se rovná 5. Znovu, kdybyste sečetli nebo odečetli obě levé strany rovnice, nezbavíte se žádné proměnné. Nemají v žádném případě stejný koeficient ani zápor stejného koeficientu. Vyberme si proměnnou, které se zbavíme. Řekněme, že se chceme zbavit 'x'. Opravdu si můžete vybrat jednu nebo druhou proměnnou. Je to jedno. Můžete se zbavit 'y'. Ale já si vybral, že se zbavím 'x'. Teď si potřebuji pohrát s jednou nebo s oběma rovnicemi tak, aby tyto dva členy měly stejný koeficient, nebo aby koeficienty byly navzájem záporné, aby se, když sečtu levé strany, navzájem vyrušily. Teď tu není nic zřejmé… Mohl bych to násobit zlomkem, aby to bylo rovno -5. Nebo bych toto mohl násobit zlomkem, aby to bylo -7. Ale větší zábava bude, když se pokusím je vynásobit tak, aby byli nejmenším společným násobkem. Mohl bych se pokusit z nich udělat 35. A udělám to tak, že výnasobím jeden druhým. Tuto horní rovnici vynásobím 7. A vybírám si 7, aby z toho bylo 35. A spodní rovnici vynásobím (-5). A to dělám proto, aby tohle bylo -35. Vzpomeňte si, mým cílem je zbavit se 'x'. Pokud bych udělal z tohoto 35 a z tohoto -35, pak mám vyhráno. Mohl bych sečíst levé a pravé strany rovnice. Když vynásobíte horní rovnici 7, bude to… Posunu se nahoru. Vynásobím to 7, bude to 35x plus 49y je rovno… Podívejme, to je 70 plus 35, což je 105, že? 70 plus 35 je 105. To bude ta horní rovnice. Spodní rovnice bude (-5) krát 7x, to je -35x, (-5) krát (-3y) je +15y. Zápory se vyruší. A pak 5… to není minus 5, to je krát (-5). 5 krát (-5) je -25. Teď můžeme jít k horní rovnici a přičíst tu samou věc k oběma stranám, kde ta stejná věc je -25, což je také rovno tomuto výrazu. Takže sečtěme levé a pravé strany. Protože vlastně přičítáme to samé k oběma stranám rovnice. Takže na levé straně se 'x' vykrátí. 35x minus 35x. To jsme chtěli. Vykrátí se a pak co se týče 'y', dostanete 49y plus 15y, to je 64y. 64y je rovno 105 minus 25, což je 80. Vydělíme obě strany 64, dostaneme, že 'y' je rovno 80 lomeno 64. A podívejme, když vydělíme čitatel i jmenovatel 8… Vlastně by se dalo i 16. 16 by bylo lepší. Ale vydělme nejdřív 8, protože známe násobilku 8. To bude 10 lomeno 8 a pak to vydělíme 2 a dostaneme 5 lomeno 4. Kdybyste to rovnou vydělil 16, dostali byste přímo 5 lomeno 4. 'y' je rovno 5 lomeno 4. Zjistěme, jaké je 'x'. Můžeme dosadit buď do jedné z těchto rovnic nebo do jedné z původních rovnic. Dosaďme do druhé z původních rovnic, kde jsme měli 7x minus 3y se rovná 5. To byla původní verze druhé rovnice, ze které jsme později udělali tohle. Takže máme 7x minus 3y, tedy krát (5 lomeno 4), je rovno 5. Nebo, že 7x minus (15 lomeno 4) je rovno 5. Přičtěme 15 lomeno 4. Jé, promiňte, neudělal jsem to správně. To bude 7x minus 3 krát 4… Promiňte, bylo to správně. Co dělám? 3 krát… 15 lomeno 4. Je rovno 5. Přičtěme 15 lomeno 4 k oběma stranám. Co dostaneme? Na levé straně bude jen 7x. Tohle se vykrátí. A to bude rovno 5, to je stejné jako 20 lomeno 4. (20 lomeno 4) plus (15 lomeno 4). Posunu se trochu dolů. 7x je rovno (35 lomeno 4). Vynásobíme obě strany (1 lomeno 7) nebo vydělíme obě strany 7, to je stejné. Vynásobme obě strany (1 lomeno 7). To samé jako vydělit 7. Tohle se vykrátí a zůstane nám, že 'x' je rovno… Pokud 35 vydělíte 7, dostanete 5. Pokud 7 vydělíte 7, dostanete 1. Takže 'x' se také rovná (5 lomeno 4). Takže průsečík tohoto bude jak na 'x' tak na 'y' v (5 lomeno 4). Pokud byste se podívali na graf, byl by to bod [(5 lomeno 4), (5 lomeno 4)] A ověřme, že splňuje horní rovnici. Když máte 5 krát (5 lomeno 4) plus 7 krát (5 lomeno 4), co dostanete? Mělo by to být 15. Tohle je rovno 25 lomeno 4 plus… co je toto? To je plus (35 lomeno 4). Což je rovno (60 lomeno 4), což je skutečně rovno 15. Takže to rozhodně splňuje horní rovnici. A sami byste si mohli zkontrolovat spodní rovnici, ale měla by platit, neboť jsme ji vlastně využili k vyřešení toho, že 'x' je rovno (5 lomeno 4).
video