Lineární rovnice o dvou neznámých
Přihlásit se
Lineární rovnice o dvou neznámých (9/14) · 9:00

Přímka zadaná směrnicí a průsečíkem Přímka může být zadaná různými způsoby. Zde si předvedeme zadání pomocí směrnice a průsečíku s osou. Uvedeme si též takzvaný směrnicový tvar rovnice přímky.

Navazuje na Lineární rovnice II.
Je mnoho různých způsobů, jak znázornit lineární rovnici. Například, máte-li lineární rovnici y je rovno 2x plus 3, je to jeden ze způsobů, ale mohl bych to znázornit nekonečně mnoha způsoby. Mohl bych, řekněme, mohl bych odečíst 2x od obou stran, mohl bych to napsat jako -2x plus y je rovno 3. Mohl bych to upravit tak, abych to dostal do tvaru… …nebudu to dělat teď, je to jen další ze způsobů zápisu toho stejného… …y minus 5 je rovno 2 krát (x minus 1). Mohli byste to vlastně zjednodušit a dostali byste buď tuhle rovnici zde, nebo tu rovnici nahoře. Všechny jsou ekvivalentní, můžete se dostat z jedné na jinou pomocí algebraických operací. Je tu tedy nekonečně mnoho způsobů znázornění dané lineární rovnice, ale v tomto videu bych se rád zaměřil právě na tento způsob, protože je to jedno z velmi užitečných znázornění lineární rovnice a uvidíme v dalších videích, že toto a toto může být rovněž užitečné, záleží jen na tom, co hledáte, ale my se zaměříme na tento, kde je přímka zadaná průsečíkem a směrnicí. Přímka zadaná průsečíkem a směrnicí. Snad za pár minut pochopíte, proč se tomu tak říká. Než vám to vysvětlím, zkusme si tu přímku nakreslit. Pokusím se ji nakreslit, nakreslím pár bodů zde, takže x, y a pokusím vybrat hodnoty 'x' tak, aby bylo snadné zjistit 'y'. Možná nejsnadnější je, když je 'x' rovno 0. Když je x rovno 0, pak dvakrát nula je nula, tento člen jde pryč a zůstane jen tento člen zde, 'y' je rovno 3. 'y' je rovno 3. Pokud bychom to chtěli nakreslit… Vlastně začněme, tohle je má osa 'y', udělejme i osu 'x', tohle bude má osa 'x'… Oh, není tak rovná, jak bych chtěl. Tohle vypadá docela dobře. Tohle je má osa 'x' a označím si zde pár bodů, tohle je 'x' rovno 1, 'x' rovno 2, 'x' rovno 3, tohle je 'y' rovno 1, 'y' rovno 2, 'y' rovno 3. Samozřejmě bych mohl pokračovat dál a dál, tohle by bylo 'y' rovno -1, tohle 'x' rovno -1, -2, -3, a tak dále… Tento bod zde, [0,3], to je 'x' rovno 0, 'y' rovno 3. Bod, který označuje, když 'x' je 0 a 'y' je 3, to znamená, že jsme na ose 'y'. Máme- li přímku jdoucí skrz a ta přímka obsahuje tento bod, tohle by byl průsečík s osou 'y'. Proč je to přímka zadána směrnicí a průsečíkem? Protože je velmi snadné spočítat průsečík s osou 'y'. Průsečík s osou 'y' nastane, pokud je to v tomto tvaru, když 'x' je rovno 0 a 'y' je rovno 3, bude to tento bod zde. Je velmi snadné z tohoto zápisu najít průsečík s osou 'y'. Teď si můžete říkat: „Je to zadané směrnicí a průsečíkem, musí být také snadné zjistit směrnici.“ Pokud jste dospěli k takovému závěru, máte pravdu! Uvidíme to během pár vteřin. Nakresleme si další body, budu navyšovat 'x' o 1. Pokud navýšíme 'x' o 1, můžeme říci, že naše delta x, naše změna v 'x', tento trojúhelníček je řecké písmeno delta, znamená změnu něčeho. Změna v 'x' je 1. Navýšili jsme 'x' o 1, jaká bude naše změna v 'y'? Jaká bude naše změna v 'y'? Podívejme se, když 'x' je rovno 1, máme 2 krát 1 plus 3, to bude 5. Naše změna v 'y' bude 2. Udělejme to znovu. Navyšme 'x' o 1. Změna v 'x' bude rovna 1. Pokud navýšíme o 1, půjdeme od 'x' je rovno 1 k 'x' je rovno 2. Jaká bude odpovídající změna v 'y'? Když 'x' je rovno 2, 2 krát 2 je 4, plus 3 je 7. Naše změna v 'y' je rovna 2. Šli jsme od 5… Když 'x' šlo od 1 ke 2, 'y' šlo od 5 k 7. Za každý nárůst v 'x' o 1, 'y' roste o 2. Pro tuto lineární rovnici, změna v 'y' lomena změnou v 'x' bude vždy… změna v 'y' je 2, když změna v 'x' je 1, tedy je rovna 2, tedy můžeme říct, že směrnice je rovna 2. Raději to nakresleme, abychom si byli jisti, že tomu rozumíme. Když 'x' je rovno 1, 'y' je rovno 5. Vlastně musíme nakreslit 5 tady nahoře. Když 'x' je rovno 1, 'y' je rovno… Vlastně je to trochu výše, trochu to vyčistím. Tohle bude… Trochu vymazat. Takto. Tohle je 'y' rovno 4. Tohle je 'y' rovno 5. Když 'x' je 1, 'y' je rovno 5, takže je to tento bod zde. Takže naše přímka bude vypadat… Potřebujete jen dva body k definici přímky, naše přímka bude vypadat… Udělám to v této barvě. Naše přímka bude vypadat… …bude vypadat… …bude vypadat nějak… …bude vypadat… Podívám se, jestli dovedu… Nenakreslil jsem to správně v měřítku, ale bude vypadat nějak takto. Tohle je přímka y je rovno 2x plus 3. Už jsme přišli na to, že směrnice je rovna 2, když je naše změna v 'x' rovna 1, když je naše změna v 'x' rovna 1, změna v 'y' je rovna 2. Kdyby byla změna v 'x' rovna -1, Kdyby byla změna v 'x' rovna -1, změna v 'y' by byla -2. Vidíte, že když jsme šli od 0 k -1, jaké bude naše 'y'? 2 krát (-1) je -2, -2 plus 3 je 1. Vidíme, že bod [-1,1] je rovněž na přímce. Směrnice tedy, změna v 'y' ku změně v 'x', pokud půjdeme mezi dvěma body na přímce, bude vždy rovna 2. Ale kde vidíte „2“ v původní rovnici? No, dvojku vidíte právě zde. A když něco píšete pomocí směrnice a průsečíku, když přímo hledáte 'y', 'y' je rovno nějaké konstantě krát 'x' na prvou plus nějaké jiné konstantě. Ta druhá bude váš průsečík s osou 'y', bude to způsob k nalezení průsečíku, průsečík samotný je tento bod, ve kterém přímka protíná osu 'y', tato 2 pak označuje směrnici. To dává smysl, protože pokaždé, když zvýšíte 'x' o 1, vynásobíte to 2, tedy zvýšíte 'y' o 2. Tohle je takové zasvěcení do myšlenky zápisu přímky pomocí směrnice a průsečíku, ale uvidíte, že, alespoň pro mě, je to nejjednodušší forma zápisu pro to, abyste si představili, jak ten graf vypadá, protože pokud byste dostali jinou lineární rovnici, řekněme y je rovno -x plus 2. Okamžitě řeknete, že průsečík s osou 'y' bude v bodě [0,2], takže protnu osu 'y' právě v tomto bodě, a pak mám směrnici rovnu… Koeficient zde je -1, takže mám směrnici rovnu -1. Zvýšíme-li 'x' o 1, snížíme 'y' o 1. Zvýšíme-li 'x' o 1, snížíme 'y' o 1. Zvýšíme-li 'x' o 2, snížíme 'y' o 2. Takže naše přímka bude vypadat nějak takto. Podívejme se, zda ji dokážu nakreslit dobře. Bude vypadat nějak… Myslím, že to zvládnu lépe. To je protože jsou mé osy nakresleny ručně. Není to ideální, ale myslím, že chápete. Bude to vypadat nějak takto. Z přímky zadané směrnicí a průsečíkem je velmi snadné najít průsečík s osou 'y' a velmi snadné zjistit směrnici. Směrnice je tu -1. Tohle je ta -1 a průsečík s osou 'y' je ten bod [0,2]. Je velmi snadné to najít, protože nám tu informaci dali vlastně zde.
video