Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (20/27) · 7:23

Kvadratická funkce Výpočet vrcholu paraboly a osy symetrie pomocí algebraické úpravy kvadratické rovnice, kterou již známe - doplněním na čtverec.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Musíme najít vrchol a osu symetrie tohoto grafu. Děláme to proto, abyste porozuměli, co to vůbec je vrchol a osa symetrie. Takže pro zopakování, pokud parabola vypadá takhle, tak vrcholem je tento nejnižší bod, tento minimální bod, pro parabolu shora otevřenou. Pokud je parabola otevřená směrem dolů, tak vrcholem je nejvyšší bod přímo tady. Je to maximální bod. A osa symetrie je přímka, kolem které můžeme parabolu opsat, a je symetrická. Takže to je osa symetrie. Tohle je obraz levé strany podél této osy symetrie. Stejně tak u paraboly otevřené směrem dolů. Způsob, jak poznat, zda se jedná o shora, nebo zdola otevřenou parabolu, je ten, že tohle bude mít u kvadratického členu kladný koeficient, a tohle bude mít záporný koeficient. A na to se podíváme detailněji. Takže se dáme do práce. Pro výpočet vrcholu existuje taková rychlá usnadňující formulka, ale nebudeme ji tady používat, protože vzorec nám nic neříká o tom, jak jsme k tomu došli. Ale na konci videa vám ukážu, jak formulku použít, kdybyste takový příklad dostali v testu a chtěli ho jen rychle vyřešit. Ale nejdříve si to zkusíme tím pomalým intuitivním způsobem. Takže pojďme přemýšlet, jak bychom mohli zjistit buď maximální nebo minimální bod této paraboly. Nejlepší způsob, co mě napadá, je to udělat doplněním na čtverec. Může se to teď jevit jako dost neznámý pojem, ale zkusme prostě postupovat krok za krokem. Takže tohle můžeme přepsat jako y se rovná… Vlastně můžeme vytknout -2. Rovná se -2(x na druhou minus 4x minus 4). A minus 4 dáme sem. A doplníme na čtverec. Tak chceme vyjádřit prvky v závorce jako součet čtverce a nějakého čísla. A máme x na druhou minus 4x. Abychom dostali dokonalý čtverec, tak bychom museli tady mít 4. Pokud bychom tu měli 4, pak by tohle byl dokonalý čtverec. Bylo by to (x minus 2) na druhou. A k číslu 4 jsme došli tak, že vezmeme 1/2 tady toho čísla, polovina z -4 je -2. Teď to umocníme. A přesně tak dostaneme 4. Ale nemůžeme jen tak přidat 4 na jedné straně rovnice. Musíme to přidat i na druhé straně, nebo to číslo musíme tady zase odečíst. Takže rovnice se úpravou nezmění. Přidali jsme 4 a pak jsme odečetli 4. Vlastně jsme přidali nulu k tomuhle výrazu, takže se výraz nezměnil. Ale díky této úpravě můžeme vyjádřit právě tuhle část jako dokonalý čtverec. X na druhou minus 4x plus 4 je (x minus 2) to celé na druhou. Je to skutečně (x minus 2) na druhou. A pak máme -2 tady na začátku, což všechno násobí, a pak máme -4, tedy -8. Takže y se rovná -2 krát celá tato závorka, a teď můžeme -2 vynásobením zase odstranit, vynásobit každý člen v závorce. Y se rovná -2 (x minus 2) na druhou. A pak -2 krát -8 je plus 16. Všechno, co jsme udělali, je vlastně pouze algebraická úprava rovnice. Ale díky této úpravě můžeme přijít na maximální a minimální bod této rovnice. Pojďme tedy rovnici blíže prozkoumat. Tento výraz: (x minus 2) na druhou. Pokud cokoliv umocňujeme, tak výsledek bude vždycky kladný. Tohle bude vždycky kladné. Ale je vynásobená záporným číslem. Takže pokud se na to podíváme v širším kontextu, tak vždy kladný výraz vynásobený záporným číslem -2, bude vždy záporný. A čím kladnější se tohle číslo stane, když ho vynásobíme záporným číslem, tím zápornější bude celý tento výraz. Když se zamyslíme, tak tohle bude parabola otevřená směrem dolů. Máme tady záporný koeficient. A maximální bod této zdola otevřené paraboly je bod, kdy tento výraz nabývá nejmenší možné hodnoty. Pokud se tohle zvětší, tak se to stejně vynásobí záporným číslem, a pak se to odečte od 16. Takže pokud tento výraz bude nula, pak dostaneme maximální hodnotu y, což je 16. Jak zde tedy dostaneme x se rovná 0? Jak zajistíme, aby se x minus 2 se rovnalo 0. Ukážeme si to. X minus 2 se rovná 0, to nastane, když x se rovná 2. Když se x se rovná 2, tak tento výraz bude roven nule. Nula krát záporné číslo je stále nula, a pak y se rovná 16. Tohle je náš vrchol, náš maximální bod. Z příkladu jsme si odvodili, že nejvyšší hodnota, které může rovnice nabývat, je 16. Jak se ‚x‘ vzdaluje od 2 kladným či záporným směrem, tak tento výraz může být záporný, nebo kladný, ale když ho umocníme, tak bude kladný. A když ho vynásobíme záporným číslem 2, tak stane se záporným a odečte se od 16. Takže náš vrchol je: x se rovná 2. Řekněme, že jednotkou grafu je 2. Takže tohle je 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Takže náš vrchol je zde. To je absolutní maximum této paraboly. A její osa souměrnosti povede podél přímky x se rovná 2, To je osa symetrie této paraboly. A pokud nás budou zajímat další body paraboly, abychom načrtli její graf, tak nás zajímá, co se stane, když se x rovná nule? To je lehké. Když se x rovná 0, tak se y rovná 8. Když x se rovná 0, tak budeme mít 1, 2, 3, 4… Vlastně je jednotkou 2. 2, 4, 6, 8. Právě tady. Tohle je osa symetrie. Když se x rovná 3, tak se y bude také rovnat 8. Takže tahle parabola je hodně strmá a úzká a vypadá nějak takhle, kde tento bod přímo zde je maximum. Řekli jsme si, že tohle je ten pomalý intuitivní způsob řešení. Pokud chcete rychlý a prostoduchý způsob, jak vrchol zjistit, tak existuje vzorec, ze kterého jej lze odvodit, úplně stejným postupem, jaký jsme si ukázali, ale vzorec pro výpočet vrcholu, nebo x-ové hodnoty vrcholu neboli osy souměrnosti, je x rovná se -b lomeno 2a. Takže pokud tohle aplikujeme… Ale je to jenom takové bezduché použití vzorečku. Chtěl jsem vám hlavně ukázat, proč tento vzoreček vůbec existuje. Ale pokud ho jen tupě aplikujeme, tak dostaneme… Co představuje ‚b‘? Takže x se rovná minus… B tady představuje 8. 8 lomeno 2a, ‚a‚‘ je v tomto případě -2. 2 krát -2. Takže čemu se to bude rovnat? Je to -8 lomeno -4, to se rovná 2, což je přesně to samé, co jsme předtím logicky vyvodili. A když se x rovná 2, tak y se rovná 16. Naprosto stejný výsledek. Je to bod [2, 16].
video