Hlavní obsah
Kurz: Funkce > Kapitola 6
Lekce 3: Vlastnosti kvadratických funkcí- Tvary a vlastnosti kvadratických funkcí
- Vyčti informace z grafu kvadratické funkce
- Vlastnosti kvadratických funkcí: strategie
- Řešený příklad: Předpis a vlastnosti kvadratických funkcí
- Vrchol a osy symetrie paraboly
- Určování konstant kvadratických funkcí
- Vlastnosti kvadratických funkcí
- Graf paraboly ve všech tvarech
- Porovnávání maximálních bodů kvadratických funkcí
- Porovnávání kvadratických funkcí
- Zakreslování grafů kvadratických funkcí
Vrchol a osy symetrie paraboly
Přepíšeme kvadratickou rovnici do vrcholového tvaru a ukážeme si, jak z ní vyčíst souřadnice vrcholu paraboly. Vytvořili: Sal Khan a Monterey Institute for Technology and Education.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tady funkci zadanou kvadratickou
rovnicí, tedy máme tady kvadratickou funkci f(x), která je rovna -2x
na druhou plus 8x plus 8. A já bych chtěla, abychom našli souřadnice
vrcholů paraboly, která je grafem této kvadratické funkce, a k tomu si ještě vyznačili osu paraboly, tedy přímku, podle které je ta parabola souměrná, symetrická. Jenom si zopakujme, jak ta
parabola může vypadat. Buď můžeme mít parabolu, která
se nám otvírá směrem nahoru takto, je konvexní. Anebo můžeme mít
parabolu, která se otvírá směrem dolů, konkávní. A když máme vrcholy té paraboly, tak u
této paraboly je ten její vrchol minimum té funkce, a u této paraboly je
vrchol maximem, maximální hodnotou té funkce. To, jestli se nám ta parabola bude
otvírat nahoru nebo dolů, poznáme podle koeficientu u kvadratického členu. Je-li kladný, pak to
bude tento případ, bude se nám parabola otvírat směrem nahoru, a bude-li záporný, jako
v tomto případě, bude se nám parabola otvírat směrem dolů. Takže v našem případě je to ten druhý
případ, vrchol paraboly, jehož souřadnice chceme najít, bude vlastně maximem té
naší funkce. Souřadnice vrcholu, na to máme vzoreček. Ale naučit se jen tak vzorec
bezmyšlenkovitě většinou nedává moc smysl. Takže my si to teď ukážeme pomalu a intuitivně,
a ten vzoreček si necháme až na úplný konec. Takže jak z tohoto tvaru
vyčteme ty souřadnice vrcholu. Já bych to udělala tak, že
bych použila takzvané doplnění na čtverec. Pokud vám to nic neříká, na tohle téma tam máme už několik videí, tak
si je prohlédněte a pak se sem vraťte. Nebudu to vysvětlovat úplně dopodrobna,
proč dělám kroky, které dělám. Takže pokud s tím nejste obeznámeni, tak si
to radši projděte. Prvně ale, než začnu doplňovat na čtverec, tak vidím
že tu mám u toho kvadratického členu koeficient, který není jedna, a podívám se, jestli
bych si ho mohla vytknout, abych se ho zbavila. Vidím, že ano. Takže si můžu vytknout minus dvojku a dostanu x
na druhou minus 4x minus 4. A teď už můžu začít s tím doplňováním na čtverec.
Minus dvojka nám zůstane a teď, x na druhou minus 4x zůstane, teď tady budu chtít něco přičíst, aby se
mi to podařilo doplnit na ten čtverec, minus čtyřka nám zůstane. Ale teď, když tady něco přičítám, tak
bych tím pádem tady změnila tu rovnost, takže bych buď musela to stejné přičíst i na levé
straně, a to tady úplně nechci dělat, takže když tady něco přičtu, tak to tu
potom ještě znovu na konci odečtu, k doplnění na čtverec. Tady je koeficient, tady máme čtyřku, to vydělíme dvěma, dostaneme dva, a
to umocňujeme na druhou, což je 4, takže přičítáme čtyřku. A abychom zachovali rovnost, tak tu
čtyřku tady ještě odečteme. Ještě jednou. Pokud vůbec nevíte, co jsem tady udělala, tak
si projděte videa o doplnění na čtverec. Teď už to pojďme dále upravit. Zjistíme,
k čemu nám to vlastně bylo. Tady se nám podařilo doplnit na čtverec, takže
tohle je to samé jako x minus 2 to celé na druhou. Pokud mi nevěříte, roznásobte si to
tady pomocí vzorečku, nebo jenom úplně jednoduše, bez vzorečku a zjistíte, že dostanete tady
toto. A pak nám tu ještě zbylo minus čtyři a minus čtyři,
které je kvůli tomu přičtení. Takže to je minus osm. A teď abychom to neměli v takovém škaredém tvaru, tak můžeme zase zpětně
roznásobit tou minus dvojkou. Takže to bude minus dva krát x minus dva
to celé na druhou, minus dvakrát minus osm je plus 16. A teď jsme to dostali do
toho tvaru, do kterého jsme to chtěli dostat. A já vám hned vysvětlím proč. Takže jsme si vlastně upravili jenom
tento zápis, to je ekvivalentní. Ale z tohoto už jednoduše dostaneme
ty souřadnice toho vrcholu paraboly. Už jsme řekli, že ten náš vrchol
paraboly bude ta maximální hodnota té funkce. Její maximum. Kdy tohle dosáhne té svojí nejvyšší maximální
hodnoty? Tohle je konstanta, to nás nezajímá, to se na měnit nebude. Tady máme něco umocněné na
druhou, což bude vždy nezáporné. Ale tady to násobíme záporným číslem,
takže výsledek bude vždy buď záporný nebo nula. My tady chceme dostat co nejvyšší hodnotu,
tudíž toto celé by nemělo být žádné záporné číslo, které bychom od té
šestnáctky museli odečíst, nýbrž nejvyšší hodnotou, kterou tady u tohoto členu můžeme dostat, je nula. A když se tohle bude rovnat
nule, když x minus 2 se bude rovnat nule, tedy tato závorka, a tedy když x
bude rovno dvěma. Už jsme dostali x-ovou souřadnici té paraboly a ještě nám zbývá y. A to je jednoduché, řekli jsme, že to
má maximální hodnotu, když toto je nulové. Takže F(x) bude rovno 0 plus 16, tedy 16. Takže y bude rovno šestnácti a ten
bod bude mít souřadnice 2 a 16. To je náš vrchol paraboly. Tak si to pojďme zaznačit do grafu. Tady je 2, 4. Dál už ani nemusím. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. 2 a 16. To je tady náš vrchol té paraboly. To jsme si teď spočítali. Ještě si tu načrtneme jenom tu osu
paraboly, která bude procházet tím bodem x je rovno dvěma, protože
prochází vrcholem paraboly. Tohle je trochu nehezky načrtnutá osa paraboly,
podle které je ta parabola souměrná, symetrická. A kdybychom si tu parabolu chtěli načrtnout,
tak si můžeme ještě spočítat nějaké další body, kterými prochází. Nejjednodušší by asi bylo podívat se na průsečík
s osou y, tedy když x je nulové, protože když x bude nulové a podíváme se
na původní předpis funkce, tak toto bude 0, toto bude 0,a vidíme že y bude rovno osmi, takže to
nám vlastně dá bod 0 a 8, 0 a 8, 2, 4, 6, 8, to je tady. A jak už jsme řekli, parabola je souměrná podél této
osy, takže budeme mít i bod 4 a 8. Vidíme,jak je to hezky souměrné podél té osy.
A teď už si to můžeme zjednodušeně načrtnout. Bude to celkem taková úzká parabola. Bude to něco takového. Spočítali jsme to, co jsme chtěli, načrtli
jsme si osu paraboly a teď ještě ten slíbený vzoreček. Já se ho tu pokusím někde namáčknout, ale
to se nám vejde, poněvadž to není nic složitého. Vzoreček pro výpočet
souřadnic vrcholů paraboly. Tedy primárně pro výpočet té x-ové souřadnice, je x
je rovno minus b dělena dvěma a. B je v našem případě koeficient tady u tohoto členu, u toho lineárního, a tedy by
to bylo rovno minus 8 děleno dvě a, to je koeficient kvadratického členu, takže
2 krát minus 2. To by bylo minus 8 děleno
minus 4, to by bylo 2. Přesně jak jsme spočítali tady. A y-ovou
souřadnici už bychom si pak mohli spočítat dosazením do tohoto předpisu. Ale je dobré kromě vzorečku znát i postup,
jak si to spočítáte, i když ten vzoreček zapomenete a vědět, jak jsme
na to intuitivně přišli.