Soustavy rovnic II
Přihlásit se
Soustavy rovnic II (7/12) · 9:25

Hádanka s ovocem Jak poznáme, že soustava nemá řešení? A jak soustava bez řešení bude vypadat graficky?

Navazuje na Soustavy rovnic I.
Králův rádce Arbegla sleduje rozhovor mezi vámi, králem a ptákem. Začíná žárlit, protože to on má být moudrým mužem království. Zakročí tedy a řekne: „Pokud jste ty a ten pták tak chytří, co kdybyste vyřešili hádanku s cenou ovoce?“ A král na to: „Ano s tím si nevíme rady. Cena ovoce. Arbeglo, řekni jim hádanku s cenou ovoce.“ Arbegla řekne: „Nuže, chceme mít přehled, kolik nás ovoce stojí, ale zapomněli jsme si poznačit, kolik které na trhu stálo. Víme, kolik jsme celkem utratili a kolik ovoce jsme dostali. Víme, že před týdnem jsme na trhu koupili 2 kila jablek. Koupili jsme 2 kila jablek a kilo banánů. 1 kilo banánů. A dohromady nás to stálo 3 dolary. Takže celkem 3 dolary. Ale když jsme tam šli před tím, koupili jsme 6 kilo banánů, nebo vlastně 6 kilo jablek. 6 kilo jablek a 3 kila banánů. 3 kila banánů. A celkem jsme zaplatili 15 dolarů. Kolik tedy stojí jablka a kolik banány?“ S ptákem se na sebe podíváte, pták zašeptá králi do ucha a král řekne: „Pták říká, že použijeme proměnné, abychom to vyjádřili algebraicky.“ A tak se do toho dáte. Chceme zjistit cenu kila jablek a kila banánů. Určíme si proměnné. Nechť se ‚a‘ rovná ceně za kilo jablek. A ‚b‘ se rovná ceně banánů, ceně za kilo banánů. Jak můžeme vyjádřit první informaci? 2 kila jablek a kilo banánů stojí 3 dolary. Kolik budou stát jablka? 2 kila krát cena za kilo, tedy 2 krát ‚a‘. To bude celková cena jablek. A celková cena banánů? 1 kilo krát cena za kilo, tedy ‚b‘. To bude celková cena banánů. Celková cena za jablka a banány bude 2a plus b. Víme, že celková cena je 3 dolary. To stejné uděláme pro předchozí návštěvu trhu. Cena za 6 kilo jablek bude 6 kilo krát ‚a‘ dolarů za kilo. A celková cena banánů bude… Koupili jsme 3 kila a cena za kilo je ‚b‘. Cena za jablka a banán dohromady je v tomto případě 15. Je to 15 dolarů. Podívejme se na různé postupy řešení. Můžeme použít eliminaci, substituci nebo použít grafické znázornění. Zkusme nejprve eliminaci. Řekněme, že chci nejprve eliminovat proměnnou ‚a‘. Vlevo mám 2a a vpravo 6a. Pokud celou rovnici vlevo vynásobím -3, z 2a se stane -6a a tím se proměnné ‚a‘ zbavíme. Tak to uděláme. Vynásobíme celou rovnici hodnotou -3. Krát -3. -3 krát 2a se rovná -6a, -3 krát b se rovná -3b, -3 krát 3 se rovná -9. Teď můžeme ty dvě rovnice sečíst. Levou stranu sečteme s levou a pravou stranu s pravou. K oběma stranám rovnice přičítáme to stejné, protože víme, že jsou si rovné. Pojďme to tedy udělat. Vlevo se nám 6a vykrátí. Ale stane se ještě něco. Vykrátí se i 3b. Vlevo nám tedy zbyde 0. A vpravo máme co? 15 minus 9 se rovná 6. Máme tu zvláštní výrok. Všechny proměnné zmizely a zbyl nám tu nesmyslný výrok 0 je 6. Což víme, že není pravda. O co tu jde? Tuhle otázku si položíte a podíváte se na ptáka, protože on je nejchytřejší člověk v místnosti, nebo tedy nejchytřejší obratlovec. Pták zašeptá králi do ucha a ten praví: „Říká, že to nemá řešení. Měl bys to znázornit graficky, abys věděl proč.“ Vy na to: „Pták očividně ví, o čem mluví. Zkusím rovnice zakreslit do grafu a uvidíme, na čem jsme.“ Vezmete tedy obě rovnice a když je zakreslíte do grafu, zakreslíte jejich průsečík a sklon. Řekněme, že chcete vyřešit proměnnou ‚b‘ v obě rovnicích. Pokud chceme najít ‚b‘ v první rovnici, z obou stran odečteme 2a. Když z první rovnice odečteme 2a, dostaneme b rovná se -2a plus 3. Teď najdeme ‚b‘ v druhé rovnici. Jako první odečteme z obou stran 6a. Dostaneme tedy… Napíšu to přímo sem. Dostaneme 3b se rovná -6a plus 15. Pak obě strany vydělíme 3 a dostaneme b se rovná -2a plus 5. Použiju znovu zelenou. A druhá rovnice bude (b se rovná -2a plus 5). Ještě jsme to nedali do grafu, ale už to vypadá zajímavě. Obě mají stejný sklon, pakliže hledáme ‚b‘, ale mají odlišné průsečíky v hodnotě ‚b‘. Pojďme si to graficky znázornit. Nakreslím si tu osy. Tohle je moje osa ‚b‘. A tohle bude moje osa ‚a‘. První rovnice má b-průsečík v hodnotě +3. 1, 2, 3, 4, 5. První rovnice má b-průsečík v hodnotě +3 a sklon -2. Takže půjdeme o 2 dolů. O 2 dolů. Takže přímka bude vypadat takhle. Snažím se to nakreslit rovně. Vypadá to asi takhle. A teď nakreslíme tu zelenou. Ta má b-průsečík v hodnotě +5, takže někde tady, ale má stejný sklon. Sklon -2, takže bude vypadat nějak takhle. A teď vidíte, že pták měl pravdu. Nemá to řešení, protože tato dvě omezení představují přímky, které se neprotínají. Přímky se neprotínají. Neprotínají. Pták má tedy pravdu. Neexistuje žádné ‚x‘ a ‚y‘, podle nichž by tento výrok byl pravdivý. Nedokážou, aby se 0 rovnala 6. Není to možné. Začne vám to vrtat hlavou. Uvědomíte si, že se vás Arbegla snaží nachytat. A tak řeknete: „Arbeglo, dal jsi mi neřešitelné informace. Jde o neřešitelnou soustavu rovnic.“ Neřešitelná. Takové někdy soustavy bývají. Soustavy bez řešení, kde se přímky neprotínají. „Tudíž jsou tyto informace nesprávné. Nemůžeme předpokládat, že jablka nebo banány… Buďto lžeš, což je možné, nebo si to špatně pamatuješ, nebo se cena ovoce mezi jednotlivými návštěvami trhu změnila.“ V tom pták zašeptal králi do ucha: „Ten člověk algebře celkem rozumí.“
video