Soustavy rovnic II
Přihlásit se
Soustavy rovnic II (2/12) · 5:10

Závislá a nezávislá soustava rovnic Už jsme si ukázali, co znamená řešitelná a neřešitelná soustava rovnic. Jak to ale souvisí se závislostí soustavy rovnic?

Navazuje na Soustavy rovnic I.
Je níže uvedená soustava lineárních rovnic závislá nebo nezávislá? Tady máme dvě rovnice. Než se vypořádáme s tímhle konkrétním problémem, pojďme si zopakovat, co znamená závislý a nezávislý. Vlastně to porovnám s řešitelný a neřešitelný. Na začátek, potýkáme-li se se soutavou lineárních rovnic ve dvou rozměrech, existují jen tři způsoby, jak ty přímky, nebo rovnice, mohou mít mezi sebou nějaký vztah. Nakreslíme si ty 3 možnosti. Nakreslíme si je v souřadných osách. Tak tohle je moje první osa x a osa y, takže ‚x‘ a ‚y‘. Teď nakreslím další. Tak tohle je ‚x‘ a tohle ‚y‘. Nakreslím ještě jednu, protože existují jenom 3 možnosti ve dvou rozměrech ‚x‘ a ‚y‘, jde-li o lineární rovnice ‚x‘ a ‚y‘. Může tedy nastat situace, kdy se přímky přetnou jen v jednom bodě, teda máte jednu přímku takhle, a druhou třeba takhle a přetínají se v jednom bodě. Může nastat situace, kdy dvě přímky jsou rovnoběžné. Takže se může stát… Nakreslím vám to sem, že jedna přímka jde takhle, druhá má stejný sklon, ale je posunutá a má jinou průsečnici s ‚y‘, takže to vypadá třeba takhle a nepřetínají se v žádném bodě. Pak tak může nastat situace, kdy jsou to vlastně stejné přímky, tedy obě přímky mají stejný sklon a stejnou průsečnici s osou y. Opravdu, jsou tou samou přímkou, přetínají se v nekonečném množství bodů. Každý bod jedné z přímek je také bodem té druhé. Teď něco málo k terminologii, a to jsme se naučili v předešlým videu, tenhle typ soustavy, kdy se přímky nepřetínají, kde nemáte žádné řešení, je neřešitelná soustava. Podle definice, asi vyplývající z protikladu k neřešitelnému, obě tyto rovnice považujeme za řešitelné. Obě rovnice jsou slučitelné. Pak ale očividně v rámci řešitelných existuje rozdíl, tady máme jenom jedno řešení, jsou to dvě rozličné přímky, které se přetínají na jednom místě. Tady jsou v podstatě tou samou přímkou. Tyto dvě možnosti teda rozlišujeme tak, že tuto nazveme ‚nezávislou‘ a tady tuto ‚závislá‘. V případe nezávislé, obě přímky si dělají, co chtějí, nezávisí na sobě, nejsou tou samou přímkou. Přetnou se v jednom místě. V případe závislé jsou obě tou samou přímkou, jakýkoliv bod vyhovující jedné vyhovuje taky druhé. Jakýkoliv bod vyhovující jedné rovnici vyhovuje taky té druhé. Když jsme si to řekli, pojďme se podívat, jestli tahle soustava lineárních rovnic je závislá nebo nezávislá. Oni tak nějak předpokládají, že bude řešitelná. Že se nám přetne buď v jednom místě, nebo se bude protínat na nekonečném počtu míst. A nejjednodušší způsob, jak to udělat… Už tady máme tuhle druhou rovnici, už je ve vzorci udávající sklon a průsečnici, víme tedy, že sklon je -2 a průsečnice s osou y je 8. Pojďme dosadit tuto první rovnici sem, do vzorce pro sklon a průsečnici a uvidíme, jestli má jiný sklon, průsečnici, nebo jestli je to stejná přímka. Takže máme 4x plus 2y se rovná 16. Z obou stran můžeme odečíst 4x, co chceme udělat je izolovat ‚y‘ na levé straně. Odečteme tedy 4x z obou stran. Na levé straně nám zůstává 2y a na pravé straně máme -4x plus 16. Napsal jsem -4x před 16, abychom dostali tradiční vzorec pro sklon a průsečnici. Teď můžeme obě strany rovnice vydělit 2, abychom na levé straně izolovali ‚y‘. Vydělíme obě strany 2 a dostaneme y se rovná… -4 děleno 2 je -2, krát x, plus 16 děleno 2 je 8. Udělal jsem jen algebraickou úpravu této vrchní rovnice a když jsem to udělal, když jsem v podstatě vyřešil rovnici pro ‚y‘, dostal jsem tady tohle, co je přesně to samé jako druhá rovnice. Máme přesně ten samý sklon, -2 a -2 a máme tu samou průsečnici s osou y, 8 a 8. Když nakreslím graf pro obě rovnice… To je osa x, to je osa y, obě sdílejí průsečnici s osou y v bodě 8 a mají sklon -2. Vypadají teda, kreslím jenom jejich odhad, vypadali by teda nějak takhle. Takže tohle může být graf rovnice tady, této první rovnice. Druhá rovnice pak bude mít přesně ten samý graf, přesně tou samou průsečnici s ‚y‘ a přesně ten samý sklon. Takže je jasné, že tyhle dvě přímky jsou závislé. Závislé. Mají nekonečné množství společných bodů, protože jsou tou samou přímkou.
video