Lineární rovnice II
Přihlásit se
Lineární rovnice II (5/14) · 7:36

Proč provádíme vždy stejné úpravy na obou stranách rovnice? Vysvětlíme si opět s využitím příkladu s váhou, jak budeme řešit rovnici, kde na obou stranách budou neznámé. Opět bude platit pravidlo stejných úprav na obou stranách rovnice.

Navazuje na Lineární rovnice I.
Zde vidíme velmi zajímavý případ. Neznámou hmotnost máme teď na obou stranách, označím si neznámou hmotnost proměnnou ‚y‘, nemusíme pořád používat jen ‚x‘, jakýkoliv symbol je vhodný, pokud nám pomůže se v příkladu orientovat. Všechna závaží s ‚y‘ mají stejnou hmotnost, proto je všechna označím stejně. Dále máme na obou stranách vah jednokilogramová závaží. Budeme postupovat krok za krokem a pokusíme se určit neznámou hmotnost. Nejprve se zamyslete, jak vystihnout danou situaci algebraickým zápisem, jak pomocí symbolů vyjádřit, co máme před sebou. Nalevo máme 3y plus 3 malá závaží a jejich celková hmotnost se rovná y plus 7 malých závaží na pravé straně. Zastavte si video a zkuste matematicky zapsat. Podívejme se na celkovou hmotnost levé strany. Máme tu 3 závaží hmotnosti ‚y‘, tedy 3y, a dále 3 jednokilogramová závaží, takže ta mají hmotnost 3 kg. Napravo máme 1 závaží hmotnosti ‚y‘, napíši tedy ‚y‘. Jedničku před ‚y‘ mohu a nemusím napsat, je to totéž. Máme tedy ‚y‘ kg a ještě 7 malých závaží. Na pravé straně máme tudíž y plus 7 kilogramů. A váhy jsou vyvážené, hmotnost na pravé straně se rovná hmotnosti nalevo, takže můžeme napsat znak rovnosti. Máme už z čeho vycházet. Podařilo se nám matematicky vyjádřit skutečnou situaci, takovou, před jakou například stáli prodejci v klenotnictví, museli umět řešit podobné příklady. A teď jakými dalšími kroky bychom mohli rovnici zjednodušit? Zastavte si video a zamyslete se nad tím. Na algebře je pěkné, že k výsledku často vede mnoho cest. Mohli byste říct, proč třeba neodstraníme z obou stran 3 malá závaží? To bychom samozřejmě mohli. Nebo byste řekli, proč nevezmeme z obou stran jedno ‚y‘. To by také bylo oprávněné, obě úpravy bychom mohli provést v jakémkoli pořadí. Jedno si prostě vyberme. Řekněme, že chceme z obou stran odstranit jedno ‚y‘, abychom si mohli oddechnout, že máme všechna ‚y‘ na jedné straně. Nejlepší způsob, jak tohoto dosáhnout, je odečíst ‚y‘ od obou stran rovnice. Pamatujte si, že kdybychom odečetli y od jedné strany, došlo by k nerovnováze. K udržení váhy v rovnováze musíme udělat stejné operace na levé i pravé straně. Odeberu tedy ‚y‘ od obou stran. Jak to vypadá v zápisu? Odebral jsem ‚y‘ od obou stran vah, tedy jsem od obou stran rovnice odečetl ‚y‘, nic jiného jsem neprovedl. Jen jsem z levé strany odebral jedno závaží neznámé hmotnosti ‚y‘. Co mi potom nalevo zbylo? Můžete na to přijít matematicky nebo se podívat na váhy, co zbylo. Pokud jsem měl 3‚něco‘ a jedno ‚něco‘ jsem odebral, zbylo mi 2‚něco‘. Zde mi tedy zbyla 2y. Měl jsem 3, jedno jsem odebral, zbyla 2, ale ještě u nich pořád mám 3 malá žlutá závaží. Na pravé straně jsem měl ‚y‘, odebral jsem ‚y‘, tudíž napravo už ‚y‘ nemám, což je vidět, ale pořád mám 7 malých žlutých závaží. Napíši 7. Pokud jsem vzal od obou stran stejné množství, tak budou váhy v rovnováze. Byly vyvážené na počátku, z obou misek jsem odebral totéž, takže budou vyvážené i teď. Levá strana rovnice se tedy rovná pravé. Vidíte, že toto už se podobá tomu, co jsme měli v minulém videu. A já se ptám: co můžeme teď udělat, abychom rovnici ještě zjednodušili? Neboli abychom zcela osamostatnili všechna ‚y‘. Zastavte si video a popřemýšlejte. Nejlepší způsob, jak osamostatnit všechna ‚y‘, je odebrat tato 3 žlutá závaží, Udělejme to. Odeberme 3 závaží zleva, ale jen to nestačí, váhy by pak nebyly vyvážené, takže musíme odebrat 3 závaží také napravo. Odečítáme tedy 3 od levé strany a odečítáme 3 také od pravé. Na levé straně nám zbyla jen 2 závaží hmotnosti ‚y‘, tak celková hmotnost je 2y, 3 minus 3 je nula. A je to vidět i na vahách, zbyla nám jen 2 závaží ‚y‘. Na pravé straně jsme se zbavili 3 závaží, takže máme jen 4, napravo zbylo 4. Dostali jsme, že 2 závaží y se rovná 4 kg. Protože jsme obě úpravy provedli na obou stranách, váhy jsou pořád v rovnováze. Jak budeme postupovat dál? Možná to zvládnete úvahou, máme 2 krát něco se rovná 4, ale rád bych postupoval jako doteď. Zamysleme se tedy. 2 krát ‚něco‘ se rovná něčemu jinému, tak co kdybych vynásobil obě strany 1/2 nebo vydělil obě strany 2? Kdybych vydělil levou stranu 2, tedy vlastně kdybych odebral polovinu hmotnosti a polovinu nechal, pak by mi nalevo zbylo 1y, a kdybych vydělil dvěma pravou stranu, musel bych odebrat zprava 2 žlutá závaží. Můžete říct, že jsem vynásobil obě strany 1/2 nebo vydělil 2. Nalevo mi zbude závaží hmotnosti ‚y‘ a napravo mi zbylo 4 děleno 2, tedy 2. A stále můžu psát znak rovnosti, protože váhy jsou v rovnováze, s oběma stranami rovnice jsem provedl totéž. Nechal jsem nalevo polovinu původního množství a napravo jsem nechal polovinu. Váhy byly v rovnováze, půl každé strany, takže budou pořád v rovnováze. A máme to, vyřešili jsme něco, co není až tak triviální, nebo to alespoň zpočátku nevypadalo. Zjistili jsme, že naše neznámá hmotnost je 2 kg. A to se dá ověřit, což je na algebře to zábavné. Po vyřešení se můžete vrátit na začátek a zkontrolovat, zda nalezené řešení platí. Udělejme to. Teď, když víme, jaká je hmotnost závaží ‚y‘, můžeme spočítat, jaká je hmotnost na každé z obou misek vah. Zkusme to. Tady máme 2 kg, -- Napíši to fialovou. -- další 2 a ještě 2 kg. Takže 6 kg plus tyto 3, tedy 9 kg na levé straně a napravo máme 7 plus 2, 7 plus 2 kg se rovná 9 kg, váhy jsou skutečně v rovnováze. Na obou stranách máme celkem 9 kg.
video