Pravděpodobnost
Přihlásit se
Pravděpodobnost (4/9) · 6:00

Složená pravděpodobnost nezávislých jevů V předchozích videích jsme počítali pravděpodobnosti různých jevů. Jak ale spočítat pravděpodobnost, že nastane několik nezávislých jevů současně?

Navazuje na Množiny.
Zamysleme se nad situací, kdy máme naprosto spravedlivou minci. Řekněme, že je to čtvrťák nebo tak něco. Takže tohle je čtvrťák. Zkusím aspoň načtrtnout profil George Washingtona, tohle vypadá obstojně. Je to spravedlivá mince, kterou několikrát hodíme a budeme zjišťovat různé pravděpodobnosti. Začneme něčím vcelku zřejmým. Hodíme mincí jednou. Jaká je pravděpodobnost, že padne panna? Máme dva stejně pravděpodobné výsledky. Panna je jedním z těch dvou stejně pravděpodobných výsledků. Takže pravděpodobnost je rovna jedné polovině. Totéž by platilo, kdybychom zjišťovali pravděpodobnost, že padne orel. Máme dva stejně pravděpodobné výsledky, orel je jeden z nich, takže to máme jednu polovinu. A tohle je potřeba si uvědomit. Pokud sečteme pravděpodobnost, že padne panna, a pravděpodobnost, že padne orel, tedy 1/2 plus 1/2, dostaneme součet jedna. A tohle je obecně platné tvrzení: součet pravděpodobností všech možných výsledků by se měl rovnat jedné. Dává to smysl, protože sčítáme všechny tyhle zlomky, v čitateli budou pak všechny možné jevy, a jmenovatel se bude vždycky rovnat součtu všech možných jevů. Takže máme všechny možné jevy děleno všemi možnými jevy. Trochu si to ztížíme. Zjistíme, jaká je pravděpodobnost, že když hodím mincí dvakrát, padne poprvé panna a podruhé také. Pravděpodobnost, že padne jednou panna a pak další panna. Můžeme na to jít dvěma způsoby. Jeden způsob je promyslet si všechny možné výsledky. Mohla by padnout panna v prvním hodu a panna i ve druhém. Nebo panna v prvním hodu a orel ve druhém. Nebo by mi mohl padnout v prvním hodu orel a ve druhém panna. Nebo by v obou hodech mohl padnout orel. Takže máme čtyři odlišné stejně pravděpodobné možnosti. Čtyři různé stejně pravděpodobné výsledky. A jeden způsob, jak na to jít, je tento: v prvním hodu mám dvě možnosti, ve druhém další dvě, mohla by padnout panna nebo orel, takže mám celkem čtyři možnosti. Pro každou z těchto dvou možností mám dvě možnosti tady. Tak jako tak, mám čtyři stejně pravděpodobné možnosti. A kolik z nich splňuje naše požadavky? Máme to tady: v této možnosti padly dvě panny. Takže tohle je jediná z těchto možností. Zakroužkoval jsem jen jednu z těchto možností. Takže máme 1/4 pravděpodobnost, že se to stane. A druhý způsob, jak na to jít, je využít fakt, že jde o nezávislé jevy. Tohle je velmi důležitá věc, pokud chceme porozumět pravděpodobnosti. Také se někdy zabýváme závislými jevy, ale tyhle jsou nezávislé. To, co padne v prvním hodu, neovliní to, co padne ve druhém hodu. A tohle si často mnoho lidí neuvědomuje. Existuje něco, čemu se říká Omyl hazardního hráče. To znamená, že si někdo myslí: Když padla tolikrát za sebou panna, tak je z ničeho nic pravděpodobnější, že v dalším hodu padne orel. Ale to není pravda. Každý hod je nezávislý na ostatních. To, co padlo v předchozím hodu, neovlivní pravděpodobnost výsledku v dalším hodu. Takže pravděpodobnost, že padne panna v prvním hodu, neboli to, když Vám nejprve padne panna, v žádném případě neovlivní to, zda padne panna i ve druhém hodu. Pokud uvážíte tento předpoklad, můžete říct, že pravděpodobnost, že padne panna a pak zase panna, bude stejná, jako pravděpodobnost, že padne panna v prvním hodu krát pravděpodobnost, že padne panna ve druhém hodu. A jak víme, pravděpodobnost, že padne panna v prvním hodu, je jedna polovina. A pravděpodobnost, že padne panna ve druhém hodu, je také jedna polovina. Takže máme pravděpodobnost 1/2 krát 1/2, což se rovná 1/4. Což je přesně totéž, jako když jsme zkoumali všechny možné varianty, neboli všechny stejně pravděpodobné možnosti. Tak to ztížíme ještě trochu. Zjistíme pravděpodobnost... trochu zanedbáváme orly, tak se podíváme na orly. Jaká je pravděpodobnost, že padne orel, pak panna a pak orel. Takže to je řada tří událostí. A chci, ať to padne přesně v tomto pořadí: v prvním hodu orel, ve druhém panna a ve třetím orel. Ještě jednou zopakuji, že jde o nezávislé jevy. To, jestli padne orel v prvním hodu, neovlivní pravděpodobnost, že ve druhém hodu padne panna. A neovlivní to ani pravděpodobnost, že ve třetím hodu padne orel. Protože jsou to nezávislé jevy, je to to samé, jako pravděpodobnost, že padne orel v prvním hodu, krát pravděpodobnost, že padne panna ve druhém hodu, krát pravděpodobnost, že padne orel ve třetím hodu. A víme, že tohle všechno jsou nezávislé jevy. Takže to je 1/2 krát 1/2 krát 1/2. Takže 1/2 krát 1/2 se rovná 1/4. 1/4 krát 1/2 se rovná 1/8. Takže se to rovná jedna osmina. Můžeme si to ověřit. Vypíšeme si znovu všechny možnosti. Může padnou panna, panna, panna, nebo panna, panna, orel, nebo panna, orel, panna, nebo panna, orel, orel, nebo orel, panna, panna, tohle je občas záludné, je potřeba dávat pozor, že nezapomeneme na žádnou z možností. Může padnou také orel, panna, orel, nebo orel, orel, panna, nebo orel, orel, orel. A vidíme tedy, že máme právě osm stejně pravděpodobných možností, máme osm stejně pravděpodobných možností, z nichž je právě jedna orel, panna, orel. Tady ji máme. Takže je to jedna z osmi stejně pravděpodobných možností.
video