Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 7: Nezávislé jevy a jejich pravděpodobnost- Všechny možnosti výběru vypsané pomocí tabulky, stromu a seznamu
- Všechny možnosti výběru vypsané pomocí tabulky, stromu a seznamu
- Pravděpodobnost kombinace nezávislých jevů
- Pravděpodobnost složeného jevu
- Pravděpodobnost při hodu mincí
- Pravděpodobnost při házení na koš
- Pravděpodobnost v basketbalu
- Pravděpodobost při hodech nespravedlivou mincí
- Pravděpodobnost nezávislých jevů: tipování odpovědí v testu
- Pravděpodobnost nezávislých jevů: hod kostkou
- Pravděpodobnost nezávislých jevů
- Pravděpodobnost složeného jevu
Pravděpodobnost kombinace nezávislých jevů
Budeme házet dvěma a třemi mincemi a zkoumat pravděpodobnost různých jevů, např. že padnou dvě panny. Napřed s pomocí výpisu všech možných výsledků a určení, které z nich jsou příznivé vyřešíme příklad. Ukážeme si, jak se vyhnout časté chybě. Rozebereme si nezávislost jevů na sobě na příkladu hodu dvěma a třemi mincemi a vypočítáme si pravděpodobnost teoreticky a pomocí výpisu všech možných kombinací. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu budeme házet mincí a zkoumat,
jaké jsou pravděpodobnosti různých jevů. Začneme jednoduše. Pokud jednou hodíme mincí, tak
pravděpodobnost, že padne orel, budeme zkracovat P(O) a je to jedna polovina,
protože máme jeden příznivý výsledek ze dvou možných. Stejně tak pravděpodobnost, že padne panna
budeme zkracovat P(P) a tato pravděpodobnost je opět jedna
polovina. Podívejme se nyní na situaci, kdy hodíme
mincí dvakrát nebo hodíme dvěma mincemi. To je to samé. Zajímá nás pravděpodobnost, že při obou
hodech padne orel. Pojďme se podívat, jaké jsou možné výsledky
tohoto pokusu. Nemusí padnout žádný orel. Tedy 0 krát orel, může padnout 1 orel
při jednom ze dvou hodů anebo může padnout dvakrát orel, což je přesně jev, který nás
zajímá. Orel, orel neboli dvakrát orel. Máme tři možné výsledky, z toho jeden je
příznivý. Pravděpodobnost je tedy jedna třetina. Vypadá to jednoduše. Bohužel je to špatně. Toto je velice častá chyba a chybovali
jsme v tom, že jsme nevypsali poctivě všechny možné výsledky. Co konkrétně padne při kterém hodu. A to
vždy musíme zvážit při výpočtu pravděpodobnosti. Pojďme to tedy udělat
ještě jednou a pořádně. Při prvním i při druhém hodu padne panna. To je první možný výsledek a odpovídá
našemu 0 krát orel. Pak ale nastává problém. Totiž může padnout panna při prvním hodu, orel při druhém nebo
naopak orel při prvním a panna při druhém hodu. A to jsou dva různé výsledky, které
my jsme označili jenom jedním výsledkem jedenkrát orel. Za čtvrté může padnout na obou mincích
nebo při obou hodech orel, což odpovídá jevu dvakrát orel. Ve skutečnosti tak máme čtyři možné
výsledky, přičemž ten poslední je jediný příznivý. Pravděpodobnost je tak jedna
čtvrtina. Ne náhodou se jedna čtvrtina rovná jedna
polovina krát jedna polovina, což je pravděpodobnost, že padne orel při prvním hodu, označíme O1 krát
pravděpodobnost, že padne při druhém, označíme O2. Všimněme si, že náš původní jev OO je průnikem jevů O1 a O2, protože dva orli
padnou, právě když padne orel při prvním hodu a zároveň při druhém hodu. Tím se dostáváme k zajímavému vztahu, že
pravděpodobnost, že nastane jev O1 a zároveň jev O2, nastane tedy průnik těchto
jevů, je roven součinu pravděpodobností O1 a O2. Pokud dva jevy splňují tuto rovnost, říkáme
že jsou nezávislé. Toto je přesná matematická definice
nezávislých jevů. Ve skutečnosti to znamená, že jevy se
navzájem neovlivňují. To znamená, pokud jeden jev nastane, nemá to
vliv na jev druhý. Je asi jasné, že jednotlivé hody jsou
nezávislé a my tak díky tomuto vztahu můžeme počítat pravděpodobnosti různých
složených jevů tak, že budeme násobit pravděpodobnosti z jednotlivých hodů. Občas se vyskytuje taková mylná představa,
že pokud už padlo mnoho orlů za sebou, pak se nějak zvyšuje pravděpodobnost, že příště
padne panna. To je samozřejmě nesmysl. Pojďme se ještě pro ilustraci podívat na
tři hody mincí. Vypočítáme pravděpodobnost, že padne orel,
panna, orel. V tomto pořadí. Podle vzorečku pro nezávislé jevy to
znamená, že stačí vynásobit pravděpodobnost, že padne orel při prvním
hodu, pravděpodobnost, že padne panna při druhém
hodu a pravděpodobnost, že padne orel při třetím hodu. Všechny tyto jevy mají pravděpodobnost
jedna polovina, takže stačí jednu polovinu umocnit na třetí. Výsledkem je jedna osmina. Pro nedůvěřivé posluchače se ještě
podíváme na množinu všech možných výsledků, kde to uvidíme jednoznačně. Při výpisu všech možných výsledků je vždy
dobré postupovat nějak systematicky, abychom na něco nezapomněli. Zde nejprve vypíšeme všechny možnosti, které
začínají pannou. Poté všechny možnosti, které začínají
orlem. V obou skupinách bychom měli dostat stejně
výsledků, což je také dobrá kontrola, že jsme na žádný nezapomněli. Náš zkoumaný výsledek orel, panna, orel je
zde. Je to jeden příznivý výsledek z osmi
možných. Pravděpodobnost tedy skutečně je jedna
osmina. Podívejme se ještě na související jev,
který by mohl někdo zaměnit a sice, že padne dvakrát orel při třech hodech mincí. Vidíme, že tento jev obsahuje náš výsledek orel, panna, orel, ale ještě panna, orel, orel
a také orel, orel, panna. Jeho pravděpodobnost je tak třikrát vyšší. Konkrétně tři osminy.