Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 8: Závislé jevy a podmíněná pravděpodobnostPříklad na podmíněnou pravděpodobnost
Příklady na podmíněnou pravděpodobnost mohou být velmi zapeklité. Pojďme si jeden takový zkusit společně vyřešit. Celkovou pravděpodobnost spočteme na základě několika podjevů. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Podíváme se na další úlohu se závislými
jevy. Jako vždy doporučuji video zastavit a
vyřešit úlohu samostatně. V této úloze máme v neprůhledném sáčku tři
druhy mincí. Jednu vybereme a budeme se snažit házet panny. Situace nebo úloha se nám tak rozpadne na
tři podkategorie, tři případy. Nejprve vyřešíme případ, kdy vybereme
spravedlivou minci. Ty jsou v sáčku dvě a tak pravděpodobnost,
že k tomu dojde, je dvě ku šesti, protože v sáčku máme celkem šest mincí. Dvě z nich jsou spravedlivé, proto dvě
šestiny. Jakmile máme daný typ mince, kterou jsme
vytáhli, můžeme spočítat pravděpodobnost, že na ní padnou čtyři panny. A urychlíme to tentokrát, spočítáme
rovnou pravděpodobnost, že čtyři panny padnou právě na spravedlivé minci. V celém tomto experimentu. Ta pravděpodobnost je rovna
pravděpodobnosti, že vytáhnete spravedlivou minci. To jsou dvě šestiny, krát
pravděpodobnost, že na spravedlivé minci padnou čtyři panny, což je nula celá pět,
padesát procent, že padne panna. A potřebujeme čtyři panny po sobě. Proto na čtvrtou. S pomocí kalkulačky zjistíme, že tato
pravděpodobnost je rovna přibližně 0,0208. To je tedy pravděpodobnost, že čtyři panny
nám padnou právě na spravedlivé minci. Pojďme se dál podívat na variantu se
šťastnou mincí, která je v sáčku jedna, proto pravděpodobnost, že jí vytáhneme, je
jedna šestina. A pravděpodobnost, že čtyři panny padnou
právě na šťastné minci, je tak podle stejného vzorce, podle stejného postupu, pravděpodobnost, že vytáhne šťastnou minci,
jedna šestina, krát pravděpodobnost, že na šťastné minci padnou čtyři panny, což je
podle zadání 60 procent na každou pannu, na čtvrtou, protože potřebujeme 4 a opět s
pomocí kalkulačky zjistíme, že to je tentokrát přesně 0,0216. To je pravděpodobnost, že čtyři panny
padnou právě na šťastné minci. Pojďme se podívat na poslední variantu, kdy
ze sáčku vytáhne smolnou minci, které jsou v sáčku tři. Proto se nám to stane s pravděpodobností 3
šestiny. A pravděpodobnost, že čtyři panny padnou
právě na smolné minci, je tak opět, stejným postupem, tři šestiny, pravděpodobnost, že
vytáhneme smolnou, krát a tentokrát pozor, v zadání máme zadanou pravděpodobnost, že
padne orel s pravděpodobností 60 procent, to znamená panna s pravděpodobností 40
procent. A opět na čtvrtou, protože potřebujeme čtyři po sobě. S pomocí kalkulačky zjistíme, že toto se
rovná, opět přesně, 0,0128. Tedy pravděpodobnost, že čtyři panny padnou právě
na smolné minci. Tím máme pokryté všechny možnosti a můžeme
tak spočítat celkovou pravděpodobnost, že padnou čtyři panny bez ohledu na to, na
které minci to bude. To, že máme pokryté všechny případy, si
můžeme ještě jednoduše zkontrolovat. A sice tak, že se podíváme na
pravděpodobnosti jednotlivých případů. Jenom to, že nastanou, ne že budou úspěšné. A součet těchto pravděpodobností musí
dávat sto procent, aby pokrývaly všechny možnosti, což v tom případě platí. Celková pravděpodobnost tak bude součtem
dílčích pravděpodobností, protože ony dohromady sestavují celý jev čtyř panen. Sečteme tak jednotlivé mezivýsledky. Nezapomeneme, že výsledek je přibližný,
protože první mezivýsledek byl přibližný, to jsme zapomněli vyznačit, tak to
napravíme. A dostáváme, s pomocí kalkulačky, 0,0552. Tedy necelých 6 procent. Pro kontrolu můžeme ještě výsledek srovnat
s nějakým rychlým intuitivním přibližným odhadem, který by mohl být třeba, že padnou
čtyři panny na spravedlivé minci. To máme zde napsané, dokonce, stačí použít
kalkulačku a zjistíme, že to je 0,0625, tedy o něco více. To celkem odpovídá zadání, protože máme
více smolných mincí než šťastných mincí, takže můžeme očekávat, že v tomto případě
bude pravděpodobnost o něco nižší než při čistě spravedlivé minci.