Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 6: Pravidlo o sčítání pravděpodobnostíPravidlo o sčítání pravděpodobností
S použitím Vennových diagramů si vysvětlíme pravidlo pro sčítání pravděpodobností. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Tentokrát nás čeká sčítání
pravděpodobností. Nejprve si koncept ukážeme na příkladu a pak jej zobecníme.
Budeme náhodně vybírat dílky z dřevěné stavebnice. Jsou tam žluté
krychle, kterých je 8, dále žluté jehlany, kterých je devět. Potom fialové krychle,
kterých je pět. A konečně fialové jehlany, kterých je
sedm. Nejprve si ukážeme pár základních pravděpodobností. Jaká je pravděpodobnost,
že vybereme krychli? Je jedno, jestli žlutou nebo fialovou. Ve stavebnici máme
osm žlutých a pět fialových, to je celkem 13 krychlí. A celkem máme ve
stavebnici osm plus devět plus pět plus 7, to je 29 těles. Tedy 29 možných výsledků, z toho 13
příznivých. Pravděpodobnost je 13/29. Za druhé. Jaká je pravděpodobnost, že
vybereme žluté těleso. Ve stavebnici máme žluté krychle a jehlany, kterých je
celkem osm plus devět, tedy 17, 17 příznivých výsledků a opět 29 těles, tedy
17 lomeno 29. Za třetí. Jaká je pravděpodobnost, že
vybereme krychli a zároveň žluté těleso? To splňuje jenom jeden typ. To jsou žluté krychle, kterých je ve
stavebnici osm. Dostáváme tak pravděpodobnost osm ku
dvaceti devíti. Než přejdeme k dalšímu výpočtu, na kreslíme si tyto jevy do Vennova
diagramu. Celková takzvaná univerzální množina je množina všech
těles. Těch je 29. V této množině najdeme jednak podmnožinu všech krychlí,
kterých je celkem třináct. A jednak množinu všech žlutých těles.
Těch je celkem sedmnáct. A co mají tyto dvě množiny společné?
Takzvaný průnik. To jsou přesně žluté krychle,
jejichž pravděpodobnost vytažení jsme počítali ve třetím příkladu a těch je
osm. Co takhle pravděpodobnost, že vytáhneme krychli nebo žluté těleso. Samozřejmě to připouští i žlutou
krychli. Stále platí, že máme celkem 29 těles ve stavebnici, tedy 29 všech
možných výsledků. V čitateli potřebujeme počet příznivých výsledků.
Samozřejmě bychom mohli spočítat všechna tělesa, která vyhovují této podmínce. My
bychom chtěli ale nějaký chytřejší postup, který bychom pak mohli zobecnit
do vzorce. Pokud se ptáme na situace, kdy nastane jeden nebo druhý jev nebo oba
zároveň, jedná se o takzvané sjednocení, sjednocení množin nebo sjednocení jevů.
Tedy množinu, která obsahuje oba dva jevy. Mohlo by nás logicky napadnout
sečíst počty prvků jednotlivých množin, 13 krychlí máme ve stavebnici a 17
žlutých těles, sjednocení by tedy mohlo mít velikost 13 plus 17. Jenže pozor, osm žlutých krychlí jsme
započítali jak v množině krychlí, kterých je pět fialových a osm žlutých, tak jsme započítali žluté krychle
mezi žlutá tělesa, kterých je devět jehlanů a osm krychlí. To znamená, že to, co mají množiny
společné, takzvaný průnik, jsme započítali dvakrát. Musíme ho tedy jednou odečíst,
aby v celkovém součtu byl jenom jednou. Nyní už máme správný počet příznivých
výsledků. Nyní zlomek rozepíšeme na dílčí části, které odpovídají jednotlivým
jevům. Ve stavebnici je 13 krychlí, 17 žlutých těles a musíme odečíst osm
žlutých krychlí, které jsme započítali dvakrát. Jednotlivé podíly odpovídají
pravděpodobnostem jednotlivých jevů, které jsme spočítali na začátku. 13
dvaceti devítin odpovídá pravděpodobnosti, že vytáhneme krychli.
Dále 17 dvaceti devítin odpovídá pravděpodobnosti, že vytáhneme žluté
těleso. A konečně. Osm dvaceti devítin odpovídá
pravděpodobnosti, že vytáhnete žlutou krychli, neboli krychli a zároveň žluté
těleso. Je to takzvaný průnik dvou jevů. Nyní už
můžeme vzoreček zobecnit. Potřebujeme na to ale trochu více místa, to je lepší.
Vzoreček, který se chystáme napsat, se někdy nazývá vzoreček pro sčítání
pravděpodobností, a nebo také vzorec pro pravděpodobnost sjednocení jevů.
Každopádně vychází z konkrétního příkladu, který jsme si teď ukázali.
Pokud si jevy označíme jako A a B, tedy A vytáhneme krychli a B vytáhneme žluté
těleso, pak jev, že vytáhneme krychli nebo žluté těleso je takzvaným sjednocením, A sjednoceno s B. A na druhé
straně rovnosti vidíme, že vystupuje pravděpodobnost jevu A, pravděpodobnost
jevu B a pravděpodobnost, že nastanou oba dva jevy zároveň. Neboli pravděpodobnost
průniku obou jevů. Obecně tak můžeme zapsat, že pravděpodobnost sjednocení
dvou jevů, A sjednoceno s B, je rovna pravděpodobnosti prvního jevu,
tedy pravděpodobnosti jevu A plus pravděpodobnost druhého jevu,
pravděpodobnost B minus pravděpodobnost průniku obou jevů, protože tuto
pravděpodobnost jsme započítali jak v jevu A, tak v jevu B, musíme ji tedy
jednou odečíst, stejně jako se žlutými krychlemi. Často můžeme narazit na situaci,
kdy se dva uvažované jevy A a B takzvaně vzájemně vylučují. To znamená, že tyto
jevy nemají nic společného, nemohou nastat zároveň. V našem příkladu
se stavebnicí by mohl jev A být jev, že vybereme krychli, Zatímco jev B by
mohl být, že vybereme jehlan. Je jasné, že nemůžeme vybrat zároveň krychli a jehlan
v jednom tělese. A v takovém případě je pravděpodobnost průniku 0,
tedy tyto jevy nemohou nastat současně, je to nemožný jev, jejich průnik, a v tom
případě je pravděpodobnost jejich sjednocení velice jednoduchá, je to
prostý součet pravděpodobností. Dokonce i v případě, že bychom měli jevů víc,
které se všechny po dvojicích vzájemně vylučují. Pak pravděpodobnost jejich
sjednocení je součet pravděpodobností. Obecně to ale neplatí. Nechme si proto
obecnější vzoreček, který počítá i s tím, že průnik jevů má nenulovou pravděpodobnost.