Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 8: Závislé jevy a podmíněná pravděpodobnostPodmíněná pravděpodobnost – Úvod
Na příkladu náhodně vytahovaných kuliček si vysvětlíme, co je to podmíněná pravděpodobnost. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zde hru z podivuhodného kasina. Jako obvykle doporučuji video zastavit a
odpovědět si na otázku samostatně. Pojďme na to. V neprůhledným sáčku máme dvě červené
kuličky a dále tři zelené. A naším úkolem je určit pravděpodobnost, že
vyhrajeme. Neboli že vytáhnete náhodně dvě kuličky a
obě budou zelené. Tak pojďme to spočítat, jak jsme zvyklí, to
znamená pravděpodobnost, že vytáhnete první zelenou kuličku krát pravděpodobnost, že
opět vytáhnete zelenou kuličku. Jevy mají nastat současně, takže násobíme.
V sáčku víme, že jsou tři zelené kuličky. To jsou naše příznivé výsledky. Celkem pět kuliček, tedy 5 všech možných
výsledků. Tím pádem pravděpodobnost je tři pětiny krát
tři pětiny, což je celkem 9 dvaceti pětin. Tento postup je rychlý, často používaný a
také chybný. Bohužel vytahování druhé zelené kuličky
není nezávislý jev, protože se nám změnil poměr kuliček k sáčku. To znamená tři pětiny už znova neplatí. Nemůžeme tedy postupovat takto jednoduše. Než si ukážeme správný postup, podíváme se
na teoretický koncept, který se jmenuje podmíněná pravděpodobnost. Ten se nám bude velice hodit. Podmíněná pravděpodobnost se značí
následovně. Pravděpodobnost A svislá čára B. Svislá čára se čte jako za podmínky a
říkáme tím, jaká je pravděpodobnost za podmínky, že jev B už nastal. Co to bude znamenat matematicky? V množině
všech možných výsledků si nejprve znázorníme dvě podmnožiny, jevy A a B. A nyní si zakreslíme podmíněnou
pravděpodobnost. Podmínka nám říká, že jev B již nastal. To znamená, že možné výsledky už pochází pouze
z jevu B. To znamená, my nebudeme dělit všemi možnými
výsledky, ale pouze těmi z jevu B a to odpovídá pravděpodobnosti jevu B. Ta bude tedy ve jmenovateli. Pojďme dál. Pokud má nastat jev A, musí nastat nějaký
výsledek, který je v jevu A a zároveň v jevu B. Může tedy nastat jenom tento malý výsek,
což je přesně průnik jevů A a B. To znamená v čitateli nebude celý jev A, ale jenom
pravděpodobnost průniku jevů A a B. Protože jiná část jevu A nastat nemůže
kvůli naší podmínce. Tím jsme dostali vzorec pro výpočet
podmíněné pravděpodobnosti. My ho ale často používáme ještě v jiné
podobě, upravený tak, že rovnost vynásobíme pravděpodobností jevu B a dostáváme tak na
pravé straně samostatně pravděpodobnost průniku a tu právě často
potřebujeme vypočítat pomocí tohoto vzorce. Po úpravě tak dostáváme:
pravděpodobnost průniku jevů A a B je pravděpodobnost jevu A za podmínky jevu B, krát pravděpodobnost jevu B. Anebo naopak díky tomu, že průnik je
symetrický. Je to také pravděpodobnost jevu A krát
pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A. Právě tento vztah se nám bude hodit při
řešení naší úlohy z kasina a mnohých dalších. Jen připomenu, že máme neprůhledný
sáček se třemi zelenými a dvěma červenými kuličkami a naším úkolem je vytáhnout dvě
zelené. Pojmenujeme si tedy jednotlivé jevy A, že první
vytáhneme zelenou a B, že druhou vytáhneme zelenou. Tyto dva jevy nemají stejnou
pravděpodobnost a nejsou nezávislé. Podle vzorce tak vypočítáme pravděpodobnost,
že nastanou oba dva zároveň. To je levá strana rovnosti ze vzorce. A použijeme druhou stranu, bude to tedy
přehlednější. Pravděpodobnost jevu A, tu už jsme jednou
řešili. To je že na počátku první kuličku vytáhneme
zelenou, jsou tam tři zelené kuličky z pěti možných. Dále máme ve vzorci podmíněnou
pravděpodobnost, že nastane jev B, pokud už nastal jev A. Podmínka, že nastal
jev A znamená, že v sáčku ubyla jedna zelená kulička a to znamená, že tam zbývají
dvě zelené kuličky a dvě červené. Tato podmínka nám samozřejmě ovlivní
pravděpodobnost jevu B, což je vytažení zelené kuličky. Ty už tam totiž zbývají pouze dvě a máme
tak pouze dva příznivé výsledky a ne z pěti ale ze čtyř možných. Po vynásobení tak dostáváme šest dvacetin,
což můžeme zkrátit na tři desetiny. Což je správné řešení této úlohy.