Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 1: Pravděpodobnost – úvodPravděpodobnost – úvod
Uděláme si úvod do pravděpodobnosti na příkladu hodu mince a kodu kostkou. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Jak vypočítat
pravděpodobnost náhodných jevů. To si ukážeme na dvou příkladech.
Nejprve potřebujeme nějaký zdroj náhody. V prvním příkladu nám dobře poslouží
obyčejná mince, například pětikoruna. Každá mince má rub a líc,
neboli pannu a orla. Panna je strana s číslem, s hodnotou
mince, orel je strana se lvem. Zajímalo by nás, jaká je pravděpodobnost,
že při hodu mincí padne panna. To počítáme většinou kombinatoricky.
To znamená zlomkem, kdy ve jmenovateli máme počet všech možných
výsledků, tedy výsledků, jak může náhodný experiment
nebo pokus dopadnout. Zde je důležité, aby všechny
uvažované výsledky byly stejně možné, neboli stejně pravděpodobné. To znamená, že žádný nenastává ani
častěji, ani méně často než ostatní. V našem případě se jedná
o výsledky panna a orel. A pokud máme spravedlivou minci, což
předpokládáme, tak jsou i stejně možné. V čitateli máme také počet
výsledků, ale pouze příznivých. To jsou ty výsledky, které nás zajímají,
které zahrnuje náš zkoumaný jev, v tomto případě panna. Když tedy dosadíme konkrétní čísla,
tak v čitateli máme 1 příznivý výsledek, padne panna, a ve jmenovateli máme
2 možné výsledky, panna nebo orel. Pravděpodobnost je tak 1 polovina. Někdy říkáme 1 ku 2 anebo
můžeme čísla vydělit a dostat 50 %. Toto je teoretický přístup k výpočtu. Pravděpodobnost můžeme
ale zjišťovat i experimentálně. A to tak, že začneme náhodnou situaci
opakovat a budeme sledovat výsledky. Začneme tedy házet mincí a budeme
si zapisovat, jaká strana padá. Může to dopadnout například takto: Panna, poté orel, poté panna, poté
opět orel, znovu orel a zase orel, to se klidně může stát, poté padne panna,
dále opět panna, poté orel, panna, orel a tak dále. Nyní použijeme stejný vzorec, ale
dosadíme výsledky experimentu. Máme tedy zde zapsáno 11 různých výsledků. Ve jmenovateli tak bude 11
a z toho nám padlo 5 panen. V čitateli tak bude 5. Toto číslo není 50 %,
je to přibližně 45,4 %. To není 50 %, ale platí, že kdybychom
experiment prováděli dál a dál a měli více a více výsledků,
pak se tato experimentální hodnota bude blížit té skutečné teoretické, 50 %. K těmto experimentům se často
používají například počítačové simulace. My se ale soustředíme na teoretický
výpočet pomocí příznivých výsledků. Jako druhý příklad zdroje náhody si
vezmeme běžnou hrací kostku, šestistěnnou, která má na
svých stěnách čísla 1 až 6. Toto jsou tedy naše možné
jevy, kterých je celkem 6. Ve jmenovateli tak bude vždy číslo 6. Tedy počet všech stejně možných výsledků. Začneme u jednodušších příkladů a spočítáme pravděpodobnost
jevu, že na kostce padne číslo 2. Tomuto jevu vyhovuje 1 výsledek,
máme tedy 1 příznivý výsledek, konkrétně číslo 2, ze 6 možných výsledků.
Pravděpodobnost je tak 1 šestina. Podobně můžeme vypočítat pravděpodobnost
jevu, že na kostce padne číslo 2 nebo 5. Tento jev už má 2 příznivé
výsledky, konkrétně čísla 2 a 5, v čitateli tedy máme číslo 2 a ve
jmenovateli opět všech 6 možných výsledků. Po zkrácení dostáváme
pravděpodobnost 1 třetina. Dále můžeme vypočítat pravděpodobnost
jevu, že na kostce padne liché číslo. Tento jev má 3 příznivé výsledky, všechna
lichá čísla, která na kostce najdeme. V čitateli tak dostáváme hodnotu 3,
ve jmenovateli stále číslo 6, což je 1 polovina, případně 50 %.
Ukážeme si ještě 2 hraniční případy. Nejprve se podívejme na
pravděpodobnost jevu, že na kostce při jednom hodu
padne číslo 2 a 5 zároveň. Tomuto jevu pochopitelně nevyhovuje
žádný výsledek, protože není možné, aby padly 2 různá čísla zároveň. Proto v čitateli dostáváme 0 a ve
jmenovateli stále číslo 6, což je 0. Jev, kterému nevyhovuje žádný
výsledek, se nazývá nemožný jev. Nemožný proto, že nemůže nikdy nastat
a jeho pravděpodobnost je vždy rovna 0. Naopak, můžeme vypočítat pravděpodobnost jevu,
že na kostce padne číslo menší než 7. Toto je naopak jev, kterému vyhovují
všechny výsledky, protože všechna čísla, která na kostce najdeme, jsou menší než 7. A to znamená, že v čitateli máme
číslo 6, stejně jako ve jmenovateli, a výsledek je tedy 1. Jev, který zahrnuje všechny možné
výsledky, se nazývá jistý jev, protože jsme si jisti, že vždy nastane. A jeho pravděpodobnost
je tak 1, neboli 100 %.