Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 3: Základní operace s množinamiPrůnik a sjednocení množin
Na příkladech si ukážeme průnik a sjednocení množin a zavedeme si matematický způsob zápisu množin. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Množiny jsou skupina
objektů, například čísel. Uvažujme množinu A, která
obsahuje čísla 3, 12, 5 a 15. Těmto objektům, v tomto případě
číslům, říkáme prvky množiny. U množin nezáleží na pořadí, v jakém prvky
zapíšeme, a prvky se nikdy neopakují. Uvažujme ještě 1 množinu, například B,
která se skládá z čísel 14, 15, 6 a 3. Prvky vypisujeme do
takzvaných složených závorek. Tím množinu odlišíme od vektorů,
bodů v rovině, nebo intervalů. Podobně jako s čísly,
nebo s logickými výroky, můžeme s množinami provádět
různé operace, například průnik. Průnik množin značíme takovýmto symbolem ∩
a můžeme jej chápat jako logickou spojku a zároveň. Protože průnik vybírá z množin ty prvky,
které jsou v obou množinách zároveň. Také trochu připomíná
logickou spojku a zároveň. V tomto případě bude tedy
průnik množin A a B následující. Prvek 3 je v obou množinách,
proto bude i v průniku. Prvek 12 je v první množině,
ale není ve druhé, stejně tak prvek 5 není ve druhé množině,
ale prvek 15 je v obou množinách, bude tedy i v průniku. Průnik množin A a B je tak také množina,
dvouprvková množina s čísly 3 a 15. Další základní operací je sjednocení. Sjednocení naopak vybírá všechny prvky,
které jsou v jedné nebo ve druhé množině. Značí se takovýmto symbolem U. Logicky můžeme chápat
tuto operaci jako nebo a symbol pro sjednocení také
připomíná logickou spojku nebo. Tedy vybíráme ty prvky, které jsou
v jedné nebo ve druhé množině. Rovnou tedy můžeme do sjednocení
zařadit všechny prvky z první množiny, to je 3, 12, 5 a 15. A poté zařadíme prvky ze
druhé množiny, číslo 14, ale pozor, prvky se v
množině nesmí opakovat. Prvek 15 tedy už znovu nepíšeme,
prvek 6 ano, ten jsme ještě nepsali, a prvek 3 už opět máme zařazený. Sjednocením množin A a B je tak
šestiprvková množina s těmito čísly. Množinové operace často znázorňujeme
pomocí takzvaného Vennova diagramu. Vennův diagram graficky znázorní, co se
s množinami děje a které prvky vybíráme. Nejprve si znázorníme množinu všech
přirozených čísel, se kterými pracujeme. Tu značíme speciálním symbolem N. A nyní si vyznačíme množiny A a B. V celé množině tedy určitě najdeme čísla
3, 12, 5 a 15, které tvoří množinu A. Dále zde najdeme čísla
14 a 6, které dohromady s již napsanými čísly
3 a 15, tvoří množinu B. A dále zde najdeme spoustu čísel, které
nejsou ani v množině A, ani v množině B například 1, 7, 9. Na diagramu dobře můžeme
vidět průnik obou množin, tedy to, co mají obě množiny společného. V tomto případě čísla 3 a 15. Tedy průnik
je jak geometricky, tak množinově, to, co mají obě množiny společného. Podobně můžeme vidět sjednocení, to jest všechny prvky, které jsou
alespoň v 1 množině nebo v obou a graficky, geometricky, tak
dostáváme sjednocení dvou kruhů, může nám to připomínat třeba brýle, zkrátka množinu, která
obsahuje všech šest čísel, které se nacházejí v jedné
nebo ve druhé množině. Podívejme se ještě na 2 příklady.
Uvažujme množiny C a D s těmito prvky. A zkusme si určit nejprve
průnik množin C a D. Ten obsahuje ta čísla, která
jsou v obou množinách. Číslo 11 není ve druhé množině,
číslo 4 ano, tedy je i v průniku, a číslo 12 je také v obou
množinách, je tedy v průniku, číslo 7 není ve druhé množině,
není tedy ani v průniku. Připomeňme, že nezáleží na pořadí, v jakém
čísla, nebo prvky množiny, vypíšeme. Pokud bychom začali s množinou D,
dostali bychom průnik 12, 4. Tyto 2 množiny jsou zcela ekvivalentní. Sjednocení naopak zahrnuje všechny
prvky, které jsou alespoň v 1 množině. Můžeme tedy nejprve
opsat celou první množinu, množinu C, která obsahuje
čísla 11, 4, 12 a 7. A nyní připíšeme čísla, která jsme
ještě nezapsali, tedy 13, 10 a 3. A tím dostaneme sjednocení množin C a D.