If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Průnik a sjednocení množin

Na příkladech si ukážeme průnik a sjednocení množin a zavedeme si matematický způsob zápisu množin. Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Množiny jsou skupina objektů, například čísel. Uvažujme množinu A, která obsahuje čísla 3, 12, 5 a 15. Těmto objektům, v tomto případě číslům, říkáme prvky množiny. U množin nezáleží na pořadí, v jakém prvky zapíšeme, a prvky se nikdy neopakují. Uvažujme ještě 1 množinu, například B, která se skládá z čísel 14, 15, 6 a 3. Prvky vypisujeme do takzvaných složených závorek. Tím množinu odlišíme od vektorů, bodů v rovině, nebo intervalů. Podobně jako s čísly, nebo s logickými výroky, můžeme s množinami provádět různé operace, například průnik. Průnik množin značíme takovýmto symbolem ∩ a můžeme jej chápat jako logickou spojku a zároveň. Protože průnik vybírá z množin ty prvky, které jsou v obou množinách zároveň. Také trochu připomíná logickou spojku a zároveň. V tomto případě bude tedy průnik množin A a B následující. Prvek 3 je v obou množinách, proto bude i v průniku. Prvek 12 je v první množině, ale není ve druhé, stejně tak prvek 5 není ve druhé množině, ale prvek 15 je v obou množinách, bude tedy i v průniku. Průnik množin A a B je tak také množina, dvouprvková množina s čísly 3 a 15. Další základní operací je sjednocení. Sjednocení naopak vybírá všechny prvky, které jsou v jedné nebo ve druhé množině. Značí se takovýmto symbolem U. Logicky můžeme chápat tuto operaci jako nebo a symbol pro sjednocení také připomíná logickou spojku nebo. Tedy vybíráme ty prvky, které jsou v jedné nebo ve druhé množině. Rovnou tedy můžeme do sjednocení zařadit všechny prvky z první množiny, to je 3, 12, 5 a 15. A poté zařadíme prvky ze druhé množiny, číslo 14, ale pozor, prvky se v množině nesmí opakovat. Prvek 15 tedy už znovu nepíšeme, prvek 6 ano, ten jsme ještě nepsali, a prvek 3 už opět máme zařazený. Sjednocením množin A a B je tak šestiprvková množina s těmito čísly. Množinové operace často znázorňujeme pomocí takzvaného Vennova diagramu. Vennův diagram graficky znázorní, co se s množinami děje a které prvky vybíráme. Nejprve si znázorníme množinu všech přirozených čísel, se kterými pracujeme. Tu značíme speciálním symbolem N. A nyní si vyznačíme množiny A a B. V celé množině tedy určitě najdeme čísla 3, 12, 5 a 15, které tvoří množinu A. Dále zde najdeme čísla 14 a 6, které dohromady s již napsanými čísly 3 a 15, tvoří množinu B. A dále zde najdeme spoustu čísel, které nejsou ani v množině A, ani v množině B například 1, 7, 9. Na diagramu dobře můžeme vidět průnik obou množin, tedy to, co mají obě množiny společného. V tomto případě čísla 3 a 15. Tedy průnik je jak geometricky, tak množinově, to, co mají obě množiny společného. Podobně můžeme vidět sjednocení, to jest všechny prvky, které jsou alespoň v 1 množině nebo v obou a graficky, geometricky, tak dostáváme sjednocení dvou kruhů, může nám to připomínat třeba brýle, zkrátka množinu, která obsahuje všech šest čísel, které se nacházejí v jedné nebo ve druhé množině. Podívejme se ještě na 2 příklady. Uvažujme množiny C a D s těmito prvky. A zkusme si určit nejprve průnik množin C a D. Ten obsahuje ta čísla, která jsou v obou množinách. Číslo 11 není ve druhé množině, číslo 4 ano, tedy je i v průniku, a číslo 12 je také v obou množinách, je tedy v průniku, číslo 7 není ve druhé množině, není tedy ani v průniku. Připomeňme, že nezáleží na pořadí, v jakém čísla, nebo prvky množiny, vypíšeme. Pokud bychom začali s množinou D, dostali bychom průnik 12, 4. Tyto 2 množiny jsou zcela ekvivalentní. Sjednocení naopak zahrnuje všechny prvky, které jsou alespoň v 1 množině. Můžeme tedy nejprve opsat celou první množinu, množinu C, která obsahuje čísla 11, 4, 12 a 7. A nyní připíšeme čísla, která jsme ještě nezapsali, tedy 13, 10 a 3. A tím dostaneme sjednocení množin C a D.