Množiny
Množiny (2/4) · 6:15

Rozdíl množin Uvažujme dvě množiny A, B. Jak najít rozdíl těchto dvou množin, neboli A \ B? Jak se liší A \ B od B \ A? Co je to prázdná množina?

Nyní se zaměříme na hledání rozdílu množin. Jak to budeme značit? Máme už množinu A, už jsem tady definoval množinu A. V obou případech jsem to definoval jako množinu obsahující čísla. Místo čísel by ale v množině mohly být jiné prvky, třeba farmářská zvířata nebo slavní prezidenti. Ale s čísly to budeme mít jednodušší. Takže začneme s množinou A. Z množiny A odebereme množinu B. To je jeden způsob, jak chápat rozdíl množin A a B. To, co jsem tu napsal, v podstatě říká: Dejte mi nějakou množinu všech prvků, které jsou v množině A, ale bez prvků, které jsou v množině B. Zamysleme se nad tím, co to znamená. Takže co zůstane v množině A, když odejmeme prvky, které jsou v množině B? To znamená, že vezmeme množinu A a odebereme z ní 17, 19 a 6. Takže nám tu zůstane 5, 3... Nebude tu 17, protože jsme odebrali množinu B, dáme pryč cokoli, co je v množině B. Dostaneme 5, 3, 12 (12 není v množině B, takže to tu můžeme nechat), 19 je v množině B, takže odebereme i 19. Take toto lze chápat jako množinu A po odebrání prvků, které jsou v množině B. Jeden způsob, jak to chápat, je tento: tohle jsou všechny prvky množiny A, které nejsou v množině B. Jiný způsob, jak to chápat, je následující: tohle jsou všechny prvky, které nejsou v množině B, ale jsou v množině A. Trochu to upřesním. Tohle bychom mohli chápat jako zbytek množiny A po odebrání množiny B. nebo jako doplněk množiny B vzhledem k množině A. O doplňcích množin se budeme podrobněji bavit později. Ale doplněk znamená vše, co není v B. Ptáme se tedy: "Co všechno není v B, ale je v A?" Kdybychom měli říct vše, co není v B, pak by to byla všechna čísla ve vesmíru kromě 17, 19 a 6. Vlastně bychom to mohli pojmout ještě šíře, neomezovat se jen na čísla. Oranžová barva není v B, takže by mohla být doplňkem množiny B. Nevidím v množině B ani žádnou zebru, také by byla doplňkem množiny B. Ale my chceme vědět, co všechno není v B, ale zároveň je v A. To by byla čísla 5, 3 a 12. Když si to představíme jako B odebráno z A, mohli bychom říct: "Dokážu si představit, že jsi odebral 17 a 19, ale co odebrat 6? Neměli bychom odebrat 6?" V klasickém odečítání bychom mohli skončit možná i u nějakého záporného čísla. Když ale odebíráme z množiny prvek, který v této množině není, pak se odebráním tohoto prvku v množině nic nezmění. Když začnu s množinou A, odebereru 6 z A, tak se v A nic nezmění, protože prostě vůbec šestku neobsahuje. Mohl bych z množiny A odebrat i všechny zebry - nic by se v ní nezměnilo. Další způsob jak značit doplněk množiny B vzhledem k množině A nebo množinu A po odebrání množiny B, zapíšu sem. Mohli bychom to napsat takto: A a pak tohle malé znaménko, které vypadá trochu jako znaménko pro dělení, ale také znamená "rozdíl množin A a B". Když to napíšeme takto, mluvíme o všech prvcích množiny A, které nejsou v množině B, neboli o množině A po odebrání prvků množiny B, nebo o doplňku množiny B vzhledem k množině A. Zamyslíme se nad tím ještě jinak. Co by bylo B \ A? Nebo B - A? Můžeme totiž psát i B - A. Čemu by se to rovnalo? Mohli bychom to chápat jako všechno, co zůstane v B, po odebrání prvků, které jsou i v A. Nebo jako doplněk množiny A vzhledem k množině B. Budeme to tedy chápat jako množinu B po odebrání všech prvků množiny A. Začneme s množinou B. Je tu 17. Ale 17 je i v A, takže ho dáme pryč. Pak tu máme 19, ale 19 je také i v A, takže i 19 dáme pryč. Pak tu je 6, ale to dávat pryč nemusíme, protože 6 není v A. Takže nám zůstane jen 6. Dostali bychom množinu s jediným prvkem, prvkem 6. Ještě mě zajímá jedna věc. Co by bylo doplňkem množiny A vzhledem k samotné množině A? To je totéž, jako bych se ptal na rozdíl množiny A a A. Vlastně to znamená, že odebereme všechno z množiny A. Začnu číslem 5, ale 5 je v množině A, takže to odebereme. Pak tu máme 3, ale to je také v množině A, dáme to tedy pryč. Tohle všechno odebereme a zůstane nám jen prázdná množina. Prázdná množina, neobsahuje žádné prvky. Někdy se zapisuje takto. Prázdná množina. To je množina, která neobsahuje žádné prvky.
video