Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 3: Základní operace s množinamiPodmnožiny
Probereme si na příkladu, co to znamená a jak se zapisuje, že množina B je podmnožinou množiny A, co je to nadmnožina a co je to vlastní podmnožina. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Množiny můžeme částečně porovnávat
mezi sebou podle prvků, které obsahují. Tím se dostáváme k pojmu podmnožiny.
Nejprve se podíváme na zápis podmnožiny. K tomu používáme symbol, podobný
nerovnosti. Je ale zakulacený ⊆. Tento zápis znamená, že množina
B je podmnožinou množiny A. Nebo můžeme také říct, že množina
A je nadmnožinou množiny B. Znamená to, že B obsahuje
pouze prvky, které jsou v A, neboli, že všechny prvky množiny
B jsou obsaženy v množině A. Podívejme se, jestli je to pravda. Číslo 18 je v množině A, číslo 1 je
také v množině A a číslo 7 stejně tak. Tedy ano. Množina B je
podmnožinou množiny A. Co další porovnání? Je také množina
A podmnožinou množiny B? Obsahuje množina A pouze prvky množiny B? 1 ano, ale číslo 3 v množině B není.
Tedy ne, A není podmnožinou B. Můžeme porovnávat i
množinu se sebou samou. Je A podmnožinou A? Obsahuje
množina A pouze prvky množiny A? Samozřejmě, že ano. To platí vždy, bez
ohledu na to, jakou množinu A zvolíme. Podívejme se na další porovnání a sice
množiny B a C. Je B podmnožinou C? Zkontrolujeme jednotlivé prvky. Číslo 18 je v množině C,
číslo 1 také a číslo 7 také. Takže ano, B je podmnožinou C. Porovnejme ještě množiny C a A. Opět zkontrolujeme jednotlivé prvky. Číslo 18 je v množině A,
číslo 7 také, číslo 1 také, ale číslo 19 v množině A není.
Tedy ne, C není podmnožinou A. Jak už jsme si řekli, symbol podmnožiny
připomíná znaménko nerovnosti, konkrétně menší nebo rovno. Mohla by tedy existovat i nějaká
obdoba k ostré nerovnosti. Existuje. Je to takovýto symbol ⊂ a říkáme, že
B je vlastní podmnožinou množiny A. To znamená, že B je podmnožinou A
a zároveň se množiny nemohou rovnat. Tedy A musí obsahovat něco navíc.
Zkontrolujeme, jestli i toto platí. To, že prvky množiny B jsou v
množině A, jsme už kontrolovali. Teď ale potřebujeme ještě
ukázat, že se množiny nerovnají. Tedy že množina A má něco navíc. A to je
například číslo 5, které není v množině B. Takže ano, B je dokonce vlastní
podmnožinou množiny A. Dále jsme si rozmysleli, že
A je vždy podmnožinou A. Je ale také vlastní podmnožinou A? Samozřejmě, že není, protože tyto množiny
se rovnají a tedy 1 nemůže mít něco navíc. A ta druhá nemůže být vlastní podmnožinou. A co množiny B a C? Je množina B dokonce vlastní
podmnožinou množiny C? Už víme, že je obyčejnou podmnožinou
množiny C. To jsme si zkontrolovali. Otázka je, jestli má C něco navíc. Má. Má číslo 19, které není v množině B,
a proto je B vlastní podmnožinou.