Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 3: Základní operace s množinamiUniverzální množina a doplněk
Pustíme se do dalších množinových operací a zavedeme další pojmy a jejich matematický zápis - vysvětlíme, co je doplněk a proč a jak se používá univerzální množina. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Další množinovou operací je doplněk.
Doplněk logicky odpovídá negaci, protože obsahuje vše,
co není v dané množině. Doplněk definujeme jenom pro podmnožiny.
Použijeme tento příklad, množinu A a B, kdy B je podmnožinou A. Potom můžeme
definovat doplněk, který značíme takto: B s čarou s dolním indexem A. Znamená
to doplněk množiny B v množině A. U doplňku musí být vždy jasné,
v jaké množině ho sestrojujeme. Doplněk obsahuje všechny prvky, které
nejsou v množině B, ale jsou v množině A. Hezky to můžeme vidět
pomocí Vennova diagramu. Nakreslíme velikou množinu A
a v ní uvnitř podmnožinu B. Nyní doplňkem množiny B v množině A je vše, co je v množině A,
kromě toho, co je v množině B. Je to tedy takový
prstenec okolo množiny B. Konkrétně se můžeme podívat
na jednotlivé prvky této množiny. Patří sem ty prvky, které
jsou pouze v množině A. Číslo 1 je v obou množinách, do doplňku
tedy nepatří. Číslo 3 je pouze v A, číslo 5 také a patří tedy do doplňku a
čísla 7 a 18 jsou v obou množinách. Doplněk je tedy pouze
dvouprvkový, s čísly 3 a 5. Můžeme si všimnout, že jsme
vlastně provedli rozdíl množin. Jako kdybychom od
množiny A odečetli množinu B. Skutečně tomu tak je, doplněk
je to samé co odčítání. Ale můžeme ho použít pouze na podmnožinu. Často, když počítáme doplňky, tak
používáme stále stejnou nadmnožinu, ve které doplňky sestrojujeme. Proto je někdy výhodnější na začátku říct,
v jaké množině doplňky sestrojujeme a pak už ji nemusíme
znovu a znovu opakovat. Této množině se říká univerzální
množina, nebo zkráceně univerzum. Značíme ji symbolem U
a pokud se bavíme o číslech, tak zpravidla používáme
nějaký známý číselný obor. V tomto případě můžeme
použít třeba celá čísla. Stejně tak bychom ale mohli použít
přirozená čísla, racionální čísla, reálná čísla nebo jakoukoli jinou množinu. Jedinou podmínkou je, že pracujeme
pouze s prvky této univerzální množiny, protože doplněk sestrojujeme
jenom u podmnožin. Při kreslení Vennova diagramu zakreslujeme
univerzální množinu zpravidla jako obdélník. V tomto případě jsou
univerzální množinou celá čísla. Do ní pak dovnitř dokreslujeme jednotlivé
podmnožiny, třeba podmnožinu A. Jakmile máme univerzální množinu, nemusíme
říkat, v jaké množině doplněk tvoříme. Můžeme tedy rovnou napsat A
s čarou, což je doplněk množiny A, a samo sebou se rozumí, že to je doplněk
k univerzální množině celých čísel. Když se tedy podíváme na jednotlivé prvky
tohoto doplňku, tak například číslo 10 není prvkem množiny A, je to samozřejmě
celé číslo, tedy leží v doplňku množiny A. Podobně číslo -3 není v množině A a to
znamená, že musí být v jejím doplňku. Do Vennova diagramu můžeme
číslo -3 zakreslit třeba sem. Opět platí, že doplněk je
rozdíl množin, v tomto případě rozdíl univerzální množiny a dané
množiny, ke které doplněk sestrojujeme.