Pravděpodobnostní rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení (4/5) · 10:02

Funkce hustoty pravděpodobnosti V minulém videu jsme se zabývali pravděpodobnostní funkcí diskrétní náhodné veličiny. Nyní se podíváme na spojité náhodné veličiny a vysvětlíme si, co je to funkce hustoty pravděpodobnosti.

Navazuje na Kombinatoriku.
V minulém videu jsme se bavili o pravděpodobnosti. Začali jsme vysvětlením pojmu náhodná veličina a ukázali jsme si dva typy náhodných veličin. Máme diskrétní, které nabývají konečného počtu hodnot a obvykle ... Chtěl jsem říci, že to bývají celá čísla, ale nemusejí být. Máme diskrétní náhodné veličiny s konečným souborem hodnot, takže nemůže existovat nekonečný počet hodnot diskrétní náhodné veličiny. A pak jsou spojité, které mohou nabývat nekončeného počtu hodnot. Příklad spojité náhodné veličiny X je ... Lidé většinou používají X. Změním to, aby bylo vidět, že to lze označit i jinak než X. Máme náhodnou veličinu velké Y. Obvykle se používají velká písmena. Je rovna přesnému množství deště, který zítra spadne. V severní Kalifornii, kde právě jsem, teď právě prší. Což bylo potřeba, protože bylo sucho. Takže přesné množství deště, které zítra naprší. Neznám skutečnou funkci hustoty pravděpodobnosti, ale zkusím jednu nakreslit a pak ji vysvětlit. Chci vám ukázat, jak máte chápat spojité náhodné veličiny. Nakreslím pravděpodobnostní rozdělení, neboli funkci hustoty pravděpodobnosti. Bude vypadat asi takto. A řekněme, že tam bude ... Trochu se zamyslím. Řekněme, že bude vypadat nějak takto. Ano, takto. Dobře, akorát neznám její výšku. Tato osa x představuje množství deště. Toto je 0 centimetrů, toto je 1 centimetr, toto jsou 2 centimetry, 3 centimetry, 4 centimetry. A toto je nějaká výška. Řekněme, že vrchol je zde. Řekněme na 0,5. 0,5 Dobře, jak to chápat ... Kdybyste měli tento graf a já bych se zeptal, jaká je pravděpodobnost, že Y ... To je naše náhodná veličina. ... že Y je rovná přesně 2 centimetrům? Jaká je pravděpodobnost, že se to stane? Kdybychom postupovali stejně jako u pravděpodobnostního rozdělení diskrétní náhodné veličiny, tak bychom našli 2 centimetry ... To je hodnota, která nás zajímá. A vystoupali od osy nahoru ... A řekli bychom, že pravděpodobnost je 0,5. Opravdu je to pravděpodobnost 0,5? A já bych řekl, ne není to pravděpodobnost 0,5. A předtím než si ukážeme, jak to vyhodnotit graficky, tak se nad tím logicky zamyslíme. Jaká je pravděpodobnost, že zítra naprší přesně 2 centimetry deště? Nikoli 2,01 centimetry nebo 1,99 centimetry. Ani 1,99999 centimetry , ani 2,000001 centimetry deště. Ale přesně 2 centimetry deště. Ani jeden atom navíc, ani jednu molekulu vody nad značkou 2 palce. Ani jednu molekulu vody pod 2 centimetry. To je přeci 0. Není to zřejmé, protože se často říká, že například včera v noci napršely 2 centimetry deště. Ale, přesně dva centimetry ? Normálně, pokud by napršely 2,01 centimetry, tak by se řekly 2 centimetry. Ale nikoli v našem případě. To by nebyly 2 centimetry. Potřebujeme přesně 2. 1,99 se nepočítá. Ani nemáme nástroje, které by nám řekly, zda to jsou přesně 2 centimetry. Žádné pravítko není přesně 2 centimetry dlouhé. V procesu výroby vždy alespoň jeden atom přebývá nebo chybí. Takže šance, že něco přesně odpovídá určitému měření do nekonečně dlouhého místa za desetinnou čárkou, je vlastně nulová. U spojitých náhodných veličin se ptáme, jaká je pravděpodobnost, že Y je téměř 2. Takže hledáme pravděpodobnost, že absolutní hodnota Y mínus 2 je menší než nějaká tolerance. Je menší než třeba 0,1. Jinak řečeno, jaká je pravděpodobnost, že Y je vyšší než 1,9 a menší než 2,1. Obě tvrzení jsou identická. Dám vám chvilku k zamyšlení. Teď už to začíná dávat smysl. Nyní je zde interval. Chceme pravděpodobnost všech hodnot Y mezi 1,9 a 2,1, takže mluvíme o této ploše. A to je zásadní. Pokud chceme znát pravděpodobnost, že se to stane, tak chceme znát plochu pod touto křivkou od tohoto bodu k tomuto bodu. Pokud jste se již učili integrální počet, tak se jedná o určitý integrál této hustoty pravděpodobnosti od tohoto bodu k tomuto. Takže od ... Dochází mi místo. Řekněme, že tento graf ... Zvýrazním to jinou barvou. Pokud tato čára bude popsána funkcí f(x). Klidně jsem ji mohl nazvat p(x) či jinak. Pravděpodobnost, že toto nastane, je rovna integrálu ... Pro ty, kteří již umí integrály. ... od 1,9 do 2,1 z f(x)dx. Předpokládám, že toto je osa x. Je důležité si uvědomit, že když náhodná veličina má nekonečné množství hodnot, ... Může mít jakoukoliv hodnotu v intervalu. ... tak pravděpodobnost, že bude přesně 1,999, je ve skutečnosti 0. Je to jako se zeptat, jaká je plocha pod křivkou jen na této čáře. Nebo konkrétněji je to jako se zeptat, jaká je plocha úsečky? Plocha úsečky ... Pokud si nakreslíte úsečku a řeknete si, že plocha je výška krát šířka, tak výška má nějaké rozměry, ale šířka? Jaká je šířka úsečky? Podle definice nemá úsečka šířku a tudíž nemá žádnou plochu. Mělo by vám dávat smysl, že pravděpodobnost něčeho super přesného je vlastně nulová. A že se musíme místo toho ptát, jaká je pravděpodobnost, že jsme blízko u 2 a pak hledat plochu. A pokud byste chtěli vědět, jaká je pravděpodobnost stavu mezi 1 a 3 centimetry, pak samozřejmě bude pravděpodobnost mnohem vyšší. Byla by to tato plocha. Také byste se mohli zeptat, jaká je pravděpodobnost, že naprší méně než 0,1 centimetru deště? Pak byste se dostali sem a spočítali ... To je bod 0,1. ... a spočítali tuto plochu. A také byste se mohli zeptat, jaká je pravděpodobnost, že zítra naprší více než 4 centimetry deště? Pak byste začali zde a spočítali plochu pod křivkou odsud až do nekonečna. Tedy pokud má plochu až do nekonečna. A doufejme, že nevyjde nekonečno. Jinak by pravděpodobnost nedávala smysl. Takže snad po integrování dostaneme číslo a to bude říkat, že je například 10% šance, že zítra naprší více než 4 centimetry. A ze všeho, co jsme řekli, by vám mělo vyplynout, že pravděpodobnost všech možností nemůže být větší než 100%. Pokud sloučíme všechny možnosti, tak je pravděpodobnost 1, že nastane jedna z těchto možností. Takže celá plocha pod touto křivkou musí být rovna jedné. Pokud spočítáme integrál z f(x) od 0 do nekonečna, tak to bude rovno 1. To je pro ty, co již umí integrální počet. Pro ostatní je to plocha pod křivkou. Můžete se podívat na videa o integrálech pokud se o nich chcete dozvědět více. A to také platí pro rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny. Nakreslím to. Součet pravděpodobnostní všech možností musí být roven 1. V příkladu s kostkami ... Nebo rychlejší bude nakreslit hody mincí. Součet obou pravděpodobností musí být roven 1. Takže toto je 1. Toto 0. Přičemž X je rovno 1, pokud padne hlava nebo 0, pokud padne orel. Obě pravděpodobnosti jsou 0,5. Nebo nemusí být 0,5, ale pokud bude jedna 0,6, pak druhá musí být 0,4. Dohromady musí dát 1. Pokud by jedna byla ... Nemůže být pravděpodobnost 60%, že padne hlava a 60%, že padne orel. Pak by byla celková pravděpodobnost 120% pro oba případy, což nedává žádný smysl. Je důležité si uvědomit, že pravděpodobnostní rozdělení, v tomto případě pro diskrétní náhodnou veličinu, musí mít součet 1. Takže 0,5 plus 0,5. A v tomto případě musí být plocha pod hustotou pravděpodobnosti také rovna jedné. Budeme končit. V dalším videu vás seznámím s konceptem střední hodnoty. Na shledanou.
video