Kombinatorika
Přihlásit se
Kombinatorika (1/7) · 10:11

Variace Kolika různými způsoby můžeme posadit 7 lidí na 3 židle, záleží-li na pořadí? V tomto videu si ukážeme, co jsou to variace a jak podobné příklady spočítat.

Navazuje na Pravděpodobnost.
- Mějme 3 židle. - Nejdříve budou prázdné: 1, 2 a 3. Na tři židle mám 7 osob. Budu jim říkat A, B, C, D, E -- kolik to je? To je 5 -- F, G. Takže máme 7 lidí a já bych chtěl vědět, kolika různými způsoby se může těch 7 lidí posadit na 3 židle. Dobře, když vybereme židli, dříve než si na ni někdo sedne, toto je jen pracovní označení židlí, ale začněme vlevo s židlí číslo 1. Jestliže na ní nikdo nesedí, kolik různých lidí by se mohlo posadit na židli číslo 1? Dobře, 7 lidí stojí, nikdo nesedí na žádné z židlí, takže se na židli číslo 1 může posadit 7 různých lidí. Takže máme 7 různých možností pro židli číslo 1. Takže 1 ze 7 možných osob se posadí na židli číslo 1. Takže kolik osob se nyní může posadit na židli číslo 2? Dobře, 7 méně 1, je to tak? 6 lidí může být usazeno na židli číslo 2. A pak samozřejmě, jestliže již 2 osoby sedí, kolik lidí se může posadit na židli číslo 3? Dobře, budeme mít 5 možností. Takže pro každou z těchto možností je 6 způsobů pro tuto židli a 5 způsobů pro tuto židli pro každou z těchto 6 možností. Takže všechny tyto možnosti můžete vynásobit. Doufejme, že to dává smysl. Zkusíme si to na několika příkladech. Takže celkový počet možností v tomto případu je 7 krát 6 krát 5. A to je? 6 krát 5 je 30. 30 krát 7 se rovná 210. Máme 210 možností. To je spousta možností. Pojďme udělat o něco menší příklad. Myslím tím, že nemusíme počítat s lidmi na židlích. Řekněme, že máme hrnečky. - A budu dělat různě barevné hrnečky. Takže toto je 1 hrneček, hrneček číslo 1. A pak mám hrneček číslo 2. A pak mám 3 míčky. Mám purpurový míček, hnědý míček a mám žlutý míček. A chtěl bych vědět, kolika různými způsoby mohu dát tyto 3 míčky do těchto 2 hrnečků. Dobře, za předpokladu, že jsem ještě nedal žádný z těchto míčků do žádného hrnečku -- dobře, začněme s hrnečkem číslo 2. Chci vám jen ukázat, že nemusíte začínat hrnečkem označeným číslem 1 a umístěným vlevo. Jestliže jsme neumístili žádný z míčků do žádného hrnečku, kolik jich mohu dát do hrnečku číslo 2? Dobře, máme 3 možnosti, správně? A pak pro každou z těch 3, kolik míčků můžeme dát do hrnečku číslo 1? Dobře, dali jsme 1 sem, takže zbývají umístit 2 do hrnečku číslo 2. Takže to budou 3 krát 2 možnosti, což se rovná 6. A podívejme se, jestli je můžeme nakreslit. Očísluju si ty hrnečky, protože by bylo příliš obtížné stále měnit barvy. Takže řekněme, že toto je A, B a C. Ukážu vám, že tu je 6 způsobů jak umístit tyto 3 míčky do těchto 2 hrnečků. Můžeme mít A v hrnečku 1, B v hrnečku 2. Nebo B v hrnečku 1, A v hrnečku 2. Správně, můžete je jen prohodit. Záleží nám na tom, který míček jde do kterého hrnečku. Nejen na tom, zda je míček v nějakém hrnčeku. Může to být A s C. A v hrnečku 1, C v hrnečku 2. Může to být C v hrnečku 1, A v hrnečku 2. A pak můžete mít konečně B a C. B v hrnečku 1, C v hrnečku 2. Nebo C v hrnečku 1, B v hrnečku 2. A všimněte si, že kdyby nám záleželo jen na tom, který z míčků byl vybrán, ale nezáleželo by nám na tom, jestli byly v hrnečku 1 nebo 2, zbavili bychom se této dolní části a byla by tu 1/2 možných způsobů, jak je umístit. Ale když nám záleží na tom, kde jsou míčky -- záleží nám na tom, jestli jsou v hrnečku číslo 1 nebo 2 nebo v tomto případě jestli jsou na židli 1, 2 nebo 3. Tento uspořádaný výběr nazýváme variace. A tady nahoře se ptáme: kolika způsoby můžeme umístit 7 lidí na 3 židle, jestliže nám záleží na tom, na které židli sedí? Takže to můžeme napsat jako 7 osob -- a p neznačí osobu, ale variace (z ang. permutations) - na 3 židle. A jiný zápis pro to samé: můžete psát velké P a říci, kolika způsoby můžu umístit 7 věcí do 3 volných míst? Nebo to může být zapsáno jako: kolika způsoby můžete umístit 7 věcí na 3 místa? A v tomto případě je odpověď 210. A vlastně to bude vždy 210. A já vám ukážu, proč to tak je. Jak bychom zapsali toto? Dobře, to by mohlo být -- udělám to zeleně. Měli jsme 3 věci a dali jsme je na 2 místa. Takže 3 věci na 2 místa. To je ten samý případ jako 3 věci na 2 místa, která jsou rovna 3 věcem na 2 místech. Teď vám jen ukazuji různé zápisy. A zjistili jsme, že to bylo 6 způsobů. Podívejme se, jestli můžeme vytvořit obecný předpis jestliže chceme stanovit nPk. - Kolika způsoby můžeme umístit n věcí na k míst? - Takže jestliže se nad tím zamyslíme, můžeme použít analogické postupy. Budeme mít k míst, takže to bude 1. místo, 2. místo, 3. místo a tak dále až k-té místo. Na první místo máme n možností, stejně jako to bylo v předchozích dvou příkladech. Je tu n možností. Jestliže je 1 osoba nebo 1 věc umístěna na místo 1, bude tu n minus 1 možností pro místo číslo 2. A podobně, n minus 2 možností pro místo číslo 3. Takto bychom mohli pokračovat stále dál a dál. Kolik možností tedy bude pro místo k? Dobře, pokaždé je to n minus číslo místa zmenšené o 1. Myslím, hádám, že bychom mohli začít s místem číslo 0, ale takhle je to lepší, protože jsme číslovali až ke k. Takže to bude n minus k minus 1. A může to vypadat komplikovaně, ale dává to smysl. Když jsme dávali 7 věcí na 3 místa, počítali jsme 7 krát 6 krát -- doslova jsme dali 3 čísla do horní části toho, co by se dalo nazývat faktoriálem. 7 faktoriál bude 7 krát 6 krát 5. Myslím, že tohle pomůže. Jestliže tady byla jen 3, tak to bylo 7 krát 6 krát 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1. To je 7 faktoriál. Ale my jsme vzali jen první 3 čísla z faktoriálu. A podobně 6 -- dobře, 6 je také rovno 3 faktoriál. Ale můžete se na to podívat tak, že jsme vzali pouze první 2 ze 3 faktoriál, takže to, co jsme tu řekli znamená jen to, že jsme vzali prvních k z n faktoriál. Existuje snad nějaká jednodušší možnost, jak to zapsat? Zapsat prvních k z n faktoriál. Ale proč? Můžeme to zapsat jako n faktoriál a vzorec je téměř komplikovanější než to, co říká. Můžeme to zapsat jako n faktoriál -- je to malé n -- n faktoriál lomeno n minus k faktoriál. Podívejme se, jestli to bude fungovat. Dobře, co se stane? Takže v tomto případě, n bylo 7. Takže to bylo 7 krát 6 krát 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1. A co potom bylo n minus k faktoirál? Dobře, v našem příkladu, k byl počet míst, a měli jsme 3 místa. Takže 7 minus 3 jsou 4, takže 4 faktoriál. 4 krát 3 krát 2 krát 1. A tohle se samozřejmě zkrátí. Udělám to jinou barvou. Tohle se zkrátí s tímhle a zbyou vám jen první 3 čísla ze 7 faktoriál. 3 největší složky ze 7 faktoriál. Tohle vždy znovu odvozuji, protože vždy myslím jen na to, co jsme dělali původně. Říkám si, OK. Když děláme variace, začnu rozepisovat faktoriál dokuď mi nedojdou místa k umisťování. Násobím 7 krát 6 krát 5. A podívejme, zda to tu funguje také. Takže co je 3 faktoriál, protože máme 3 různé věci? 3 faktoriál lomeno -- a pak 3 minus 2 faktoriál. - Dobře, to je jen 1 faktoriál. Takže se z toho stane 3 krát 2 krát 1 lomeno 1. A samozřejmě že 1 vyškrtneme a dostaneme 3 krát 2. Naštěstí to dává smysl. Spousta lidí se naučí zápis pro variace a říkají: "To je n faktoriál lomeno n minus k faktoriál, kde n je počet věcí, které potřebuji umístit a n minus k celá ta věc faktoriál. A k je počet míst, která mám." A zapamatují si to. Ale celé to říká, že začnete počítat n faktoriál, ale vynásobíte jen první tři složky faktoriálu. A dává to smysl už jen z toho, co bylo na začátku tohoto videa. Jetliže máte 7 věcí, dobře, 7 věcí může jít sem, 6 věcí může jít sem, 5 věcí může jít sem. Žádné další místo? Jen je vynásob. A to je vše, co tento vzorec říká. Doufám, že jsem vás nezmátl a uvidíme se u dalšího videa o kombinacích. -
video