Kombinatorika
Přihlásit se
Kombinatorika (6/7) · 5:10

Příklad 4 (kombinace): pravděpodobnost výhry v loterii Hráč loterie může vsadit na 4 čísla z 60. Jestliže jsou vylosována právě tato čtyři čísla bez ohledu na pořadí, vyhraje. Jaká je pravděpodobnost výhry v loterii?

Navazuje na Pravděpodobnost.
- Hráč loterie si musí vybrat 4 čísla z čísel 1 až 60. Každé číslo může být vybráno jen jednou. Jestliže si hráč vybere všechna 4 čísla shodná s vylosovanými čísly nezávisle na pořadí, v jakém byla vylosována, pak vyhraje. Jaká je pravděpodobnost, že výherní čísla jsou 3, 15, 46 a 49? Zamysleme se nad tímto problémem. Vybereme 4 čísla z šedesáti. Můžeme na to tedy pohlížet jako na otázku, kolik různých výsledků může nastat tehdy, když vybíráme čtyři čísla z 60. Jinak řečeno, kolik různých kombinací existuje, jestliže máme 60 položek. V tomto případě máme 60 čísel a z nich vybereme čtyři. A nezajímá nás pořadí. Proto jde o kombinace, a nikoli o variace. Na pořadí totiž nezáleží. Takže kolik různých čtveřic můžeme vybrat z 60 čísel? A nezajímá nás, v jakém pořadí je vybereme. Viděli jsme v předchozích videích, že na to existuje vzoreček. Ale je důležité i pochopit, jak to vlastně funguje. Napíšu ten vzoreček sem. Co vlastně říká? Tohle je faktoriál šedesáti dělený součinem faktoriálu (60 - 4) a faktoriálu čtyř. Tedy jmenovatel násobíme faktoriálem čtyř. Tohle je tedy vzoreček. Ale co to vlastně znamená? Tato část, faktoriál 60 dělený faktoriálem rozdílu 60 a 4, to se rovná 60 krát 59 krát 58 krát 57. Tohle je výsledek tohoto výrazu. A když se nad tím zamyslíte, pak při výběru prvního čísla vybíráme mezi 60 čísly, ale pak už je toto vybrané číslo ze hry. Pak už vybíráme jen jedno číslo z 59, pak z 58, pak z 57. Kdyby nás zajímalo pořadí, pak tohle je počet uspořádaných čtveřic. Mohli bychom takto vybrat 4 položky z 60, aniž bychom je vraceli. To by odpovídalo případu, kdy by nás zajímalo pořadí. V tomto případě by byl ale výsledek moc velký, protože bychom započetli několik různých čtveřic, které by byly složeny ze stejných čísel, jen v jiném pořadí. Proto ještě musíme výsledek vydělit faktoriálem čtyř. Protože faktoriál čtyř odpovídá počtu způsobů, jakými mohou být tato čtyři zvolená čísla seřazena. Je to tak? První číslo může být první, druhé, třetí či čtvrté, druhé číslo může být na třech různých pozicích, třetí na dvou a poslední už jen na jedné. Proto dělíme výsledek faktoriálem čtyř. Pojďme tedy tohle spočítat. Kolik různých výsledků této loterie existuje? Počet různých výsledků se rovná tomuhle - už jsme řekli, že to, co je v modrém rámečku, se rovná 60 krát 59 krát 58 krát 57. Neboli doslova faktoriál 60 děleno faktoriál 56. A pak tady máme faktoriál čtyř. Tedy 4 krát 3 krát 2 krát 1. Můžeme to trochu zjednodušit, než vytáhneme kalkulačku. 60 děleno 4 se rovná 15. A pak 15 děleno 3 se rovná 5. - Tady máme 58 děleno 2, což je 29. Výsledek se tedy bude rovnat 5 krát 59 krát 29 krát 57. Ale tohle nebude výsledná odpověď. Tohle nám říká, jaký počet kombinací existuje, když vybíráme 4 čísla z 60, aniž by nás zajímalo pořadí. Vezmeme si na to kalkulačku. To máme 5 krát 59 krát 29 krát 57. Tedy 487 635. Napíšu to sem. To je 487 635 kombinací. Jestliže vybíráme 4 čísla z celkem 60 čísel. Teď je ale otázka, jaká je pravděpodobnost, že výherní čísla jsou 3, 15, 46 a 49. To je v podstatě zkrátka jedna z možných kombinací. Tedy jeden výsledek z 487 635 možných výsledků. Takže pravděpodobnost, že čísla 3, 15, 46 a 49 vyhrají, se rovná... je to jeden výsledek z 487 635 možných. Takže toto je naše pravděpodobnost výhry. Tohle je jeden výsledek ze všech možných kombinací, když vybíráme čtyři čísla z 60. -
video