Příklad: pravděpodobnost výhry v loterii

Zjistíme pravděpodobnost výhry v jednoduché loterii. Než si ukážeme řešení společně, doporučuji video zastavit a vyřešit si příklad samostatně. Naším úkolem je určit pravděpodobnost, že budou vytažena právě čísla 3, 15, 46 a 49. Budeme postupovat kombinatoricky, to znamená, nejprve zjistíme počet všech možných výsledků. Vybíráme z čísel od jedné do šedesáti, to znamená 60 různých čísel a vybíráme čtyři. Nezáleží nám na jejich pořadí, to znamená budeme počítat kombinace, konkrétně čtyřčlenné kombinace z šedesáti prvků, a to můžeme označit také kombinační číslem 60 nad čtyřmi. S příznivými výsledky je to velice jednoduché, protože máme přesně jeden daný konkrétní výsledek, který nás zajímá. Máme tedy jeden příznivý výsledek. Pojďme si zlomek rozepsat a výrazy zjednodušit. Čitatel je jednoduchý a ve jmenovateli podle vzorce rozepíšeme kombinační číslo, to je 60 faktoriál lomeno 4 faktoriál krát v závorce 60 minus 4 faktoriál. Jakmile máme ve zlomku faktoriály, víme, že půjde hodně krátit. Poctivě to ale rozepíšeme, proto budeme potřebovat hodně místa. A vrhneme se rovnou na jmenovatel. 60 faktoriál, to je 60 krát 59 krát 58 krát 57 a tak dále, násobíme všechna čísla až do jedničky s tím, že poslední jedničku můžeme psát, ale nemusíme. Z hlediska násobení jednička nehraje roli. 4 faktoriál rozepíšeme snadněji, to je pouze čtyři krát tři krát dva, případně krát jedna, ale jedničku psát nebudeme. No a 60 minus čtyři, to je padesát šest, tedy tento faktoriál začíná číslem 56, poté 55, 54, 53 a tak dále, opět až do jedničky nebo do dvojky. Vidíme, že zde máme mnoho společných činitelů, které můžeme zkrátit. Vše od padesáti šesti dál, a toto je velice typický výraz, 60 faktoriál lomeno 60 minus čtyři faktoriál. My jsme v podstatě jenom chtěli napsat 60 krát 59 krát 58 krát 57. Ale pokud to chceme zapsat pomocí faktoriálů, dostáváme takovýto výraz. Nicméně je dobré si toto krácení nebo tento obrat pamatovat. V čitateli zůstává číslo 1 a nyní zjednodušíme složený zlomek, tedy jmenovatel ze jmenovatele přejde do čitatele. Dostáváme tak v čitateli čtyři krát tři krát dva krát jedna. Ale to psát nemusíme. A ve jmenovateli dostáváme 60 krát 59 krát 58 krát 57. Stále ještě můžeme krátit, proč to neudělat, 4 krát 3 je 12 a 60 děleno dvanácti je 5, ve jmenovateli tak zbyde číslo 5, a dvojka a padesát osmička také lze zkrátit, ve jmenovateli zbyde 29. V čitateli tak opět už je pouze číslo jedna a ve jmenovateli je 5 krát 59 krát 29 krát 57. S pomocí kalkulačky zjistíme, že to je 487 635, tedy hledaná pravděpodobnost je jedna ku 487 tisícům šesti set třiceti pěti.