Mnohočleny
Přihlásit se
Mnohočleny (16/24) · 5:43

Vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu Odvození vztahu pro druhou mocninu dvojčlenu, tedy že (x+a)² se rovná x² plus 2xa plus a².

Navazuje na Základní operace s mnohočleny.
Zamysleme se nad tím, jak vypočítat, kolik je x plus 7… Napíšu to trochu úhledněji. Kolik je (x plus 7) na 2? A doporučuji vám pozastavit video a zkusit si to samostatně. Dobře, teď si to propracujme společně. Musíme pamatovat na to, že umocňujeme celý dvojčlen. Tohle je tedy totéž jako (x plus 7) krát (x plus 7). Druhé (x plus 7) zapíši jinou barvou, což bude užitečné až začneme roznásobovat. Vidíme, že to můžeme roznásobit stejně, jako bychom násobili jiné dvojčleny. Nejdříve tu provedu pomalejší ovšem intuitivnější metodou tak, že dvakrát využiji distributivity. A pak se zamyslíme nad nějakými zkratkami nebo vzory, které bychom mohli rozeznat, když umocňujeme dvojčleny na 2. Začněme tedy tím, že dvakrát použijeme distributivitu. Distribuujme tohle žluté (x+7) mezi tohle fialové (x plus 7). Můžeme je vynásobit tímto fialovým ‚x‘. Budu to psát stejnou barvou. Dostaneme tedy (fialové x krát (x+7)) plus (fialové 7 krát žluté (x+7)). Nyní můžeme znova použít distributivitu. Vezmeme tohle fialové ‚x‘ a distribuujeme je mezi x plus 7. Takže (x krát x) je x na 2. x krát 7 je 7x. A pak provedeme totéž ještě zde. Tato 7… Použiji jinou barvu. 7 krát tohle x bude další 7x, a pak ještě tahle 7 krát tahle 7 bude 49. A jsme v cílové rovince. Teď to můžeme zjednodušit. Bude to (x na 2) a tyhle dva prostřední členy můžeme sečíst. 7x… Napíši to oranžově. 7x plus 7x bude 14x. Plus 14x plus 49. A jsme hotovi. Klíčová otázka zní: Vidíme tu nějakou zákonitost? Vidíme nějaký vzor, který bychom mohli zobecnit a který by nám v budoucnosti pomohl umocňovat dvojčleny o něco rychleji? Inu, když jsme poprvé násobili dvojčleny, viděli jsme vzor typu (x plus a) krát (x plus b) je rovno x na 2… Napíšu to takhle. Bude to rovno (x na 2) plus (a plus b) x plus (a krát b). Pokud jsou tedy ‚a‘ i ‚b‘ rovny témuž číslu, tak můžeme říct, že (x plus a) krát (x plus a) bude rovno x na 2… Tohle je případ, kdy máme koeficient u obou ‚x‘ roven 1. Navíc v tomhle případě ‚a‘ i ‚b‘ jsou obě ‚a‘. Takže to bude (a plus a) krát x, nebo zkrátka můžeme psát plus 2ax. Vysvětlím, co jsem právě provedl. Namísto psaní (a plus b)… Tohle můžu chápat jako ((a plus a) krát x) a pak plus (a na 2), což je tatáž věc jako (x na 2) plus 2ax plus (a na 2). Tohle je obecné vyjádření pro druhou mocninu takového dvojčlenu. Druhou mocninu dvojčlenu, kde je koeficient u obou x roven 1. To je přesně totéž, co jsme viděli zde. V tomhle našem příkladu je 7 naše ‚a‘. Takže tady máme x na 2, zakroužkuji je. Máme tohle modré x na 2, které odpovídá tomuhle. A 7 je naše ‚a‘, Takže 2ax, 2 krát 7 je 14x. Všimněte si, že 14x máme právě zde. Takže tohle 14x odpovídá 2ax. A nakonec, je-li a rovno 7, (a na 2) je 49, a na 2 je 49. Obecně, pokud umocňujete dvojčlen na 2, můžete to provést rychle díky tomuhle vzoru. A další příklad provedeme v rychlosti, jen abychom se ujistili, že tomu rozumíme. Pokud se mě zeptáte, kolik je x minus… Dám sem záporné číslo. (x minus 3) na 2. Doporučuji vám pozastavit video a zamyslet se nad tím. Přemýšlejte, jak to vyjádřit podle tohoto vzoru. V tomhle případě je naše ‚a‘ … Musíme být opatrní, a je rovno -3, takže tohle je naše ‚a‘. Tohle bude tedy rovno x na 2 plus 2ax, napíši to stejnou barvou, jen tak pro legraci. Takže tohle bude x na 2. Kolik je (2 krát a krát x)? ‚a‘ je -3, takže (2 krát a) je -6. Takže to bude -6x. Takže -6x, tedy (2 krát a) je koeficient. A pak tu máme naše x. A pak ještě plus (a na 2). Pokud je a rovno -3, kolik je -3 krát -3? Bude to plus 9. Díky tomu, že jsme se podívali na tento vzor, dokázali jsme rychle spočítat to, čemu se druhá mocnina dvojčlenu vlastně rovna. A doporučuji vám si to zkusit znovu za použití distributivity, abyste ověřili, že tohle je skutečně totéž jako (x minus 3) na 2.
video