Rozklad mnohočlenů
Přihlásit se
Rozklad mnohočlenů (6/24) · 6:34

Rozklad kvadratického výrazu Další důležitá dovednost v matematice, kterou je rozklad kvadratického výrazu, je názorně vysvětlena v tomto videu.

Navazuje na Mnohočleny.
Takže máme tento kvadratický výraz 'x na druhou' minus 3 krát 'x' minus 10. A co bych chtěl v tomto videu udělat, je rozložit ho na součin dvou dvojčlenů. Nebo řečeno jinak, chci to psát jako součin (x plus a), to je jeden dvojčlen, krát (x plus b), přičemž musíme přijít na to, co budou 'a' a 'b'. Vyzývám vás tedy k pozastavení videa a pokuste se přijít na 'a' a 'b'. Dokážeme přepsat tento výraz jako součin dvou dvojčlenů, kde známe 'a' a 'b'? Vyřešme to teď společně. Zvýrazním 'a' a 'b' odlišnými barvami. Napíšu 'a' žlutou a 'b' fialovou. Jeden způsob, jak na to jít, je jednoduše vynásobit tyto dva dvojčleny s použitím 'a' a 'b'. Toto jsme dělali v předchozích videích. Můžete si zopakovat násobení polynomů, pokud se vám něco z tohoto zdá zvláštní. Ale pokud vynásobíte to, co je na pravé straně, bude se to rovnat… Budete tam mít 'x' krát 'x', což bude 'x na druhou'. Pak budete mít (a krát x), což je 'ax'. A pak budete mít (b krát x), což je 'bx'. Vlastně nebudu přeskakovat žádné kroky, abychom to viděli. Je to všechno opakování, nebo by mělo být. Takže, udělali jsme 'x' krát 'x' a dostali 'x na druhou'. Pak máme 'a' krát 'x', dostaneme 'ax'. Potom dostaneme 'x' krát 'b', násobíme tedy každý člen s každým členem tady. Takže pak máme 'x' krát 'b' a dostaneme 'bx', takže plus 'bx'. A nakonec nám zbývá plus (a krát b), což bude samozřejmě 'ab'. A teď to můžeme zjednodušit. Možná jste se dostali přímo k tomuto. Pokud znáte násobení dvojčlenů. Toto bude 'x na druhou' plus… Tyto koeficienty můžeme sčítat, protože jsou při členech stupně 1. Oba jsou násobeny 'x'. Pokud mám 'a' krát 'x' a přičtu k tomu 'b' krát 'x', budu mít (a plus b) krát 'x'. Teď to tedy napíšu. (a plus b) krát 'x'. A nakonec mám plus… To udělám modrou barvou. Nakonec mám… …mám plus 'ab'. A to teď můžeme použít k tomu, abychom zjistili, co musí být 'a' a 'b'. Porovnáme-li teď tvar těchto výrazů, vidíme, že tady máme 'x na druhou', tady máme 'x na druhou'. Máme něco krát 'x', v tomto případě je to -3 krát 'x', a tady máme něco krát 'x'. Můžeme nad tím přemýšlet tak, že (a plus b) se musí rovnat -3. Jejich součet se musí rovnat tomuto koeficientu. Takže to teď napíšu. Takže máme (a plus b) se musí rovnat -3. A ještě nejsme hotovi. Nakonec máme poslední člen, kde je 'a' krát 'b'. (a krát b) se musí rovnat -10. Takže to napišme. (a krát b) se tedy musí rovnat -10. Obecně, kdykoli něco rozkládáte, kvadratický výraz, který má jedničku u členu druhého stupně, má koeficient jedna u 'x na druhou', nevidíte ho, ale je tam implicitně, 1 krát 'x na druhou'. Způsob jak to rozložit, je najít dvě čísla, jejichž součet je rovný koeficientu u členu prvního stupně, takže dvě čísla, jejichž součet je -3, a vynásobím-li ty samá dvě čísla, dostanu -10. Dvě čísla, jejichž součet je -3, aby se rovnala koeficientu zde, a když je vynásobím, dostanu konstantní člen. Dostanu přesně toto. Čísla, která když vynásobím, dostanu -10. Takže jaká čísla by to mohla být? Jelikož jejich násobek musí být záporné číslo, víme, že budou mít různá znaménka. Takže se podívejme, jak na to jít. Jelikož jejich součet musí být záporné číslo, víme, že znaménko minus musí mít to větší z nich. Takže když rozložíme číslo 10… To můžeme udělat jako '1 krát 10' nebo '2 krát 5'. A čísla 2 a 5 jsou zajímavá, protože je-li jedno z nich záporné, jejich rozdíl je 3. Takže je-li jedno záporné… Tak se podívejme, když říkáme -10, mohli byste říct -2 krát 5. Pak, když je vynásobíte, dostanete -10. Ale když je sčítáte, dostanete plus 3. Ale co kdybyste vzali +2 krát -5? Toto je zajímavé, protože stále, když je vynásobíte, dostanete -10, ale když je sčítáte, 2 plus -5, bude to -3. Takže jsme právě našli naše dvě čísla. Mohli bychom říct, že 'a' je 2, nebo bychom mohli říct, že 'b' je 2, ale já prostě řeknu, že 'a' se rovná 2 a 'b' se rovná -5. Takže náš původní výraz můžeme přepsat jako… Takže můžeme přepsat 'x na druhou' minus 3x minus 10, můžeme říct, že se to bude rovnat (x plus 2) krát… Místo toho, abychom řekli plus -5, což bychom mohli, můžeme jednoduše říct… Vlastně to napíšu. Mohl bych prostě napsat plus -5 přímo sem, protože to je naše 'b'. Mohl bych prostě napsat (x minus 5) a jsme hotovi. Právě jsme to rozložili na součin dvojčlenů. Já jsem to dělal dost podrobně, především abyste viděli, odkud se to bere, ale v budoucnosti, kdykoli uvidíte kvadratický výraz a máte koeficient 1 u členu stupně 2, přesně tady, můžete si říct: „Dobrá, musím najít dvě čísla, jejichž součet je koeficient u členu stupně jedna, u členu 'x', a ta samá čísla, když je vynásobím, se musí rovnat konstantnímu členu, musí se rovnat -10.“ Řeknete si: „Dobrá, podívejme, budou mít různá znaménka, vynásobím-li je, dostanu totiž záporné číslo. Záporné bude to větší z nich, protože když je sčítám, dostanu záporné číslo.“ Tak se podívejme, například 5 a 2 vypadají zajímavě. No, -5 a +2, když je sečtete, dostanete -3, když je vynásobíte, pak dostanete -10.
video