Rozklad mnohočlenů
Přihlásit se
Rozklad mnohočlenů (7/24) · 13:57

Rozkládání na součin pomocí seskupování Občas narazíme na kvadratický výraz, který před členem 'x²' má jiné číslo než obvyklou jedničku. Pojďme si ukázat, jak se v takovém případě postupuje.

Navazuje na Mnohočleny.
V tomto videu bych se rád zaměřil na pár dalších metod rozkladu mnohočlenů. Především na kvadratické mnohočleny, které nemají 1 jako koeficient u dominantního členu. Například pokud bych chtěl rozložit 4x na druhou plus 25x minus 21. Všechno, co jsme prozatím rozkládali, nebo alespoň všechny kvadratické mnohočleny měly 1 nebo -1 tam, kde je nyní 4. Najednou tady máme tuhle 4. Takže použijeme metodu, která se jmenuje rozklad seskupením. Je to trochu složitější, než co jsme se učili předtím, ale je to fajn trik. Poněkud ztratí na užitečnosti, až se naučíte používat diskriminant, protože, upřímně, diskriminant je mnohem jednodušší. Nicméně funguje to takhle. Ukážu vám postup a pak, na konci videa, vám taky vysvětlím, proč to funguje. Co potřebujeme udělat, je najít dvě čísla, 'a' a 'b', kde 'a' krát 'b' se bude rovnat 4 krát (-21). Takže 'a' krát 'b' se bude rovnat 4 krát (-21), což se rovná -84. A součet těch samých čísel, 'a' plus 'b', musí být roven 25. Aby to bylo úplně jasné, tohle je 25, musí tedy dát dohromady 25. Tady máme 4, takže násobíme 4 krát (-21). Tady je -21. Takže jaká dvě čísla by to mohla splňovat? No, musíme se podívat na rozklad -84. A opět potřebujeme jedno kladné číslo a druhé musí být záporné, protože jejich součin je záporný. Takže se podívejme po číslech, která by mohla fungovat. 4 a -21 vypadají lákavě, jenže když je sečtete, dostanete -17. Kdyby to bylo -4 a 21, dostali bychom +17. Takže nefungují. Pojďme zkusit nějaké jiné kombinace. 1 a 84, to je příliš daleko od sebe. Vezmete-li jejich rozdíl… To je, co získáme s jedním kladným a jedním záporným číslem. Příliš daleko od sebe. Mohli byste vzít 3… Ne, to přeskakuji. 2 a 42. Opět příliš daleko od sebe. -2 plus 42 je 40. 2 plus (-42) je -40. Příliš daleko od sebe. Kolikrát je 3 v 84? 3 je v 8 dvakrát. 2 krát 3 je 6. 8 minus 6 je 2. Sepíšeme 4. 3 jde do 24 osmkrát. Takže 3 a 28. To vypadá zajímavě, 3 a 28. A pamatujte, jedno musí být záporné. Takže když máme -3 plus 28, to se rovná 25. Takže jsme našli naše dvě čísla. Ovšem nebude to tak jednoduché, jako když tohle byla 1 nebo -1. Co uděláme, je, že tenhle výraz rozdělíme. Rozdělíme ho na 28x minus 3x. Jenom ho rozdělíme. Tím myslím tenhle výraz. A samozřejmě, tady máte -21 a tady 4x na druhou. Mohli byste se ptát, proč jsem napsal 28 sem a -3 sem? A ono je to důležité. Rozhodl jsme se podle toho, že 3 nebo -3 a 21 nebo -21 mají společného dělitele. Konkrétně jsou obě dělitelné 3. 28 a 4 mají také společného dělitele. Takže jsem seskupil 28 a 4. A hned uvidíte, co tím sleduji. Pokud bychom skutečně spojili tenhle výraz, tak dostaneme (4x na druhou plus 28x). A pak, na téhle straně, v růžové, to bude (-3x minus 21). Ještě jednou, rozdělil jsem je tak, aby -3 byla s 21 nebo s -21, protože jsou obě dělitelné 3. A spojil jsem 28 s 4, protože jsou obě dělitelné 4. A teď, v obou těchto skupinách vytkneme, co můžeme. Oba tyto členy jsou dělitelné 4x. Takže tenhle oranžový výraz je roven 4x krát x… 4x na druhou děleno 4x je pouze 'x', plus 28x děleno 4x je 7. Nyní k druhému členu. Pamatujte, vytkněte všechno, co vytknout jde. Takže, oba tyto výrazy jsou dělitelné 3, nebo -3. Tak vytkněme -3. A tohle bude (x plus 7). A teď si můžete všimnout, že máme (x plus 7) krát 4x plus (x plus 7) krát (-3). Takže můžeme vytknout (x plus 7). Tohle nemusí být úplně zřejmé, nejspíše nejste zvyklí na vytýkání celého dvojčlenu. Toto lze brát, jako by to bylo 'a'. Pokud máte '4xa' minus '3a', mohli byste vytknout 'a'. Tohle znaménko minus tu můžu nechat. Smažu tohle znaménko plus. Protože je to jen minus 3, že? Plus -3 je to stejné jako minus 3. Co tu můžeme udělat? Máme (x plus 7) krát 4x. Máme (x plus 7) krát -3. Vytkněme tedy (x plus 7). Dostaneme (x plus 7) krát (4x minus 3). … minus tato 3 zde. Vytknuli jsme naše dvojčleny. Omlouvám se, vytknuli jsme to pomocí seskupování. Vytknuli jsme to a získali dva dvojčleny. Udělejme další příklad, protože je to trochu složitější. Ale když to zvládnete, je to pak docela zábava. Řekněme, že chceme rozložit 6x na druhou plus 7x plus 1. Stejný postup. Chceme najít 'a' krát 'b', které je rovno 1 krát 6, tedy rovno 6. A chceme najít 'a' plus 'b', které se musí rovnat 7. Tohle je už více přímočaré. Jaké jsou… Zřejmě nás napadne 1 a 6, že? 1 krát 6 je 6. 1 plus 6 je 7. Máme 'a' rovno 1. Ani je nebudu přiřazovat. Ta čísla jsou 1 a 6. Teď to chceme rozdělit na 1x a 6x. Ale chceme to i seskupit, aby to bylo poblíž něčeho, co má společné dělitele. Budeme mít 6x na druhou zde… Dám zde nejdřív 6x, protože 6 a 6 mají stejného dělitele. A pak budeme mít plus 1x, že? 6x plus 1x je rovno 7x. To je smysl toho všeho. Součet se musí rovnat 7. A pak tu konečně máme 1. V každé z těchto skupin můžeme vytknout, co se nám zlíbí. V této první skupině vytkněme 6x. Bude z toho tedy 6x krát… 6x na druhou děleno 6x je jen 'x'. 6x děleno 6x je jen 1. V druhé skupině… Zde budeme mít plus. V této druhé skupině budeme mít jen (x plus 1). Mohli bychom napsat 1 krát (x plus 1). Mohli byste si představit, že jsem vytknul 1. Teď mám 6x krát (x plus 1) plus 1 krát (x plus 1). Teď mohu vytknout (x plus 1). Vytknu-li to, bude to rovno (x plus 1) krát (6x plus 1). Využívám vlastnosti distributivity, pouze opačně. Snad vám to nepřipadá špatné. Teď vám tedy vysvětlím, proč tento magický způsob vlastně funguje. Ukážu na příkladě. Udělám to obecně. Řekněme, že mám (ax plus b) krát (cx… Vlastně se bojím používat 'a' a 'b'. Myslím si, že by vás to zmátlo, když jsem 'a' a 'b' používal zde. Nejsou to ty samé. Použiji tedy naprosto jiná písmena. Řekněme, že mám (fx plus g) krát (hx plus j). Použiji 'j' namísto 'i'. Později zjistíte, proč nerad používám 'i' jako proměnnou. Čemu to bude rovno? Bude to 'fx' krát 'hx', což je fh 'x na druhou'. Pak 'fx' krát 'j'. Tedy plus 'fjx'. Pak budeme mít 'g' krát 'hx'. Tedy plus 'ghx' a pak 'g' krát 'j'. Plus 'gj'. Když bychom sečetli tyto prostřední členy, máme 'fh' krát 'x na druhou'… plus… Sečteme tyto dva členy… (fj plus gh) krát 'x'... Plus gj. Co jsem tu tedy udělal? Pamatujte, ve všech těchto příkladech, kde je koeficient zde různý od 1 nebo -1, hledáme dvě čísla, jejichž součet je tohle a jejichž součin je roven součinu tohoto s tímto. Zde máme dvě čísla, jejichž součet je… Řekněme, že 'a' je rovno 'fj'. Tohle je 'a' a 'b' je rovno 'gh'. 'a' plus 'b' je tedy rovno prostřednímu koeficientu. Co je tedy 'a' krát 'b'? 'a' krát 'b' je rovno 'fj' krát 'gh'. Tyto členy si můžeme přeskládat. Pouze násobíme několik členů. Mohli bychom to přepsat jako 'f' krát 'h' krát 'g' krát 'j'. To jsou všechno stejné věci. Kolik je 'fh' krát 'gj'? To je rovno 'fh' krát 'gj'. To je rovno prvnímu koeficientu krát konstantní člen. 'a' plus 'b' bude rovno prostřednímu koeficientu. 'a' krát 'b' bude rovno prvnímu koeficientu krát konstantní člen. To je důvod, proč tento postup rozkladu seskupením vůbec funguje nebo jak zjistit, kolik mají být 'a' a 'b'. Zakončím to něčím malinko jiným, jen abych se ujistil, že máte dobré znalosti ohledně rozkladu na součin. Chtěl bych vás naučit vytýkat úplně. To je takový přídavek. Chtěl jsem udělat samostatné video, ale myslím, že na určité úrovni by to pro vás bylo až příliš zřejmé. Řekněme, že máme… Vyberu dobrý příklad. Řekněme, že mám -x na třetí plus 17x na druhou minus 70x. Okamžitě řeknete: „Vždyť to není kvadratické! Nevím, jak řešit něco takového. Má to 'x' na třetí mocninu.“ Nejprve si ale uvědomte, že každý člen je dělitelný 'x'. Vytkněme tedy 'x'. Ještě lépe, vytkněme '-x'. Vytkneme-li '-x', bude to rovno '-x' krát… '-x na třetí' děleno '-x' je rovno 'x na druhou'. 17 'x na druhou' děleno '-x' je rovno '-17x'. -70x děleno '-x' je rovno +70. 'x' se vyruší. Teď máte něco, co vypadá povědomě. Máme standardní kvadratický mnohočlen s koeficientem 1 u kvadratického členu. Musíme jen najít dvě čísla, jejichž součin je 70 a jejichž součet je -17. Čísla, která mě okamžitě napadla, jsou -10 a -7. Jejich součin je 70. Jejich součet je -17. Tato část bude tedy (x minus 10) krát (x minus 7). A to celé násobíme '-x'. Obecná myšlenka je podívat se, zda se nedá něco vytknout, a tak se dostat ke tvaru, který už poznáte. Snad vám to přišlo nápomocné. Chtěl bych zdůraznit, co jsem ukázal na začátku. Myslím, že je to užitečný trik k rozložení na součin věcí, které mají vedoucí koeficient různý od 1 nebo -1. Naučíte se ale i snadnější způsoby, jak to udělat, především se vzorcem na diskriminant.
video