If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad součtu druhých mocnin na součin

Výraz 36a^8+2b^6 rozložíme na součin (6a^4-i*√2b^3)(6a^4+i*√2b^3). Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Máme tady tento výraz: 36a na osmou plus 2b na šestou a rádi bychom ho rozložili na součin. Tohle video si zastavte a zkuste si to teď sami. První, co uděláme, je, že si to vyjádříme jako rozdíl druhých mocnin, abychom to mohli rozložit na součin. A jako rozdíl druhých mocnin si to vyjádříme pomocí imaginární jednotky i. Tak pojďme na to. Prvně si vyjádříme toto i toto jako druhou mocninu něčeho. Takže, 36 je druhá mocnina čeho? Čísla 6. a na osmou je druhá mocnina čeho? a na čtvrtou. Jelikož, když budeme mít a na čtvrtou to celé na druhou, exponenty budeme násobit: 4 krát 2 je 8. Takže tento první člen je 6a na čtvrtou, to celé na druhou. Co ten druhý člen? 2 je druhou mocninou čeho? Odmocniny ze 2. b na šestou je druhou mocninou čeho? b na třetí, jelikož opět, když to budeme mít na druhou, b na třetí, to celé na druhou, exponenty násobíme a vyjde nám 3 krát 2, tedy b na šestou. 2b na šestou je to samé jako odmocnina ze 2 b na třetí, to celé na druhou. Už to máme vyjádřené jako druhé mocniny, ale máme tady stále součet. Potřebujeme tedy jejich rozdíl. První si tedy pouze opíšeme, ta zůstává. Teď si tady napíšeme minus, které tady chceme, a jelikož jsme změnili znaménko, musíme změnit znaménko druhého členu. Mohli bychom tedy napsat: minus odmocnina ze 2 b na třetí, to celé na druhou, nebo můžeme rovnou napsat -1 krát odmocnina ze 2 b na třetí, to celé na druhou. Změnili jsme znaménko druhého členu, poněvadž jsme změnili znaménko tady. Minus a minus dává plus. Teď se dostáváme k té zajímavé části. My už víme, že -1 je i na druhou z definice z komplexních čísel. Takže si to můžeme přepsat jako: 6a na čtvrtou, to celé na druhou, to nám zůstává a tady budeme mít minus i na druhou krát celá tato věc na druhou, odmocnina za 2 b na třetí, to celé na druhou. A jelikož tady máme další druhou mocninu, můžeme ji jednoduše začlenit do naší jedné velké druhé mocniny, udělat z toho jednu velkou druhou mocninu. Takže 6a na čtvrtou to celé na druhou, tady se nic nemění, minus, a teď to i dáme jenom na konec, aby bylo na tom místě, kde ho normálně vídáme, a dostaneme odmocnina ze 2 b na třetí i, to celé na druhou. Podařilo se nám tento výraz vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin, což jsme přesně chtěli. Můžeme si jenom zkontrolovat, jestli jsme počítali správně. Tedy 6a na čtvrtou, to celé na druhou, 6 na druhou to je 36, a na čtvrtou na druhou to je a na osmou. 36a na osmou, ano to je správně. A teď tady máme odmocnina ze 2 na druhou, to jsou 2, b na třetí na druhou to je b na šestou, i na druhou to je i na druhou, což je -1, a tedy celé toto je -2b na šestou, minus a minus dává plus, tedy plus 2b na šestou. Ano, počítali jsme správně. Toto se tedy rovná tomuto. A když už máme hotovo, můžeme to tedy rozložit na součin, jak už jsme u rozdílu druhých mocnin zvyklí. A tedy 6a na čtvrtou plus celé toto, odmocnina ze 2 b na třetí i krát 6a na čtvrtou minus odmocnina ze 2 b na třetí i. A přesně k tomuto jsme se chtěli dostat. To bylo dnešní zadání. Rozložit tento výraz na součin. A pomocí imaginární jednotky i se nám podařilo tento součet druhých mocnin rozložit na součin dvou komplexních čísel. A máme hotovo.