Rozklad mnohočlenů
Přihlásit se
Rozklad mnohočlenů (23/24) · 4:51

Rozklad součtu druhých mocnin na součin Již dávno jsme si ukazovali, jak se rozloží na součin a² - b². Tehdy jsme tvrdili, že a² + b² rozložit nelze. To jsme ale neznali imaginární jednotku, kterou teď už známe.

Navazuje na Mnohočleny.
Před časem jsme se v hodině algebry učili rozkládat výrazy jako x na druhou minus y na druhou. Jde o rozdíl druhých mocnin, který můžeme rozložit na (x plus y) krát (x minus y). Toto je malé opakování. Tyto výrazy můžete roznásobit a ověřit si, že dostanete 'x na druhou' minus 'y na druhou'. Můžeme to jen tak zkusit. 'x' krát 'x' je 'x na druhou', 'x' krát '-y' je '-xy', 'y' krát 'x' je '+xy' a nakonec 'y' krát '-y' je '-y na druhou'. Dva prostřední výrazy se vykrátí a zůstane 'x na druhou' minus 'y na druhou'. V tomto videu se chci věnovat něčemu, co jsme dříve nevěděli, jak vypočítat. A to je sčítání druhých mocnin. Takže kdybychom chtěli vypočítat... Napíšu to jasnější barvou. Chceme vypočítat 'x na druhou' plus 'y na druhou'. Dřív, když jsme neznali imaginární a komplexní čísla, jsme nevěděli, jak tohle vypočítat. Ale teď už to víme a já se pokusím vám to ukázat. Doporučuji, stopněte si video a zkuste to vypočítat přede mnou. Vyjádřím tento výraz jako rozdíl druhých mocnin pomocí imaginární jednotky i. Pojďme to zkusit. Nejprve to zapíšu jako rozdíl druhých mocnin. Takže 'x na druhou' necháváme stejné. Ale teď chci zapsat tady tuto druhou část jako odčítání druhé mocniny. Takže tuto část můžeme zapsat jako minus '-y na druhou'. Samozřejmě, když odečteme záporné číslo, je to to stejné jako sčítání. Jak nám to tedy pomůže? Je to vlastně stejné, jako bychom odčítali -1 krát 'y na druhou'. Takže, kdybychom chtěli celý tento výraz zapsat na druhou... ... Jak bychom to udělali? Máme 'y na druhou', čeho je -1 druhá mocnina? Podle definice víme, že -1 se rovná 'i na druhou'. Nebo 'i na duhou' se rovná -1. Takže to tak pojďme přepsat. Takže to se bude rovnat 'x na druhou' minus, a teď místo -1 napíšu 'i na druhou', čili minus 'i na druhou' 'y na druhou'. Udělal jsem jen to, že jsem -1 nahradil 'i na druhou'. A teď, toto je zajímavé. Myslím, že víte, co bude následovat, ale vysvětlím to podrobně. Teď máme příklad x na druhou minus iy na druhou. Jen díky použití 'i' jsem mohl přepsat součet druhých mocnin jako rozdíl druhých mocnin. Teď můžeme příklad vypočítat stejně jako příklad na začátku. Tato část se bude rovnat (x plus iy) krát (x minus iy). krát (x minus iy). A můžeme si ověřit, že když výrazy roznásobíme, vyjde nám x na druhou plus y na druhou. Pojďme to tedy udělat. 'x' krát 'x' je 'x na druhou', 'x' krát '-iy' je '-ixy', potom 'iy' krát 'x' je '+ixy' a nakonec... (Jen to napíšu barvou, kterou nepoužívám.) Nakonec, 'iy' krát '-iy' se rovná '-i na druhou' 'y na druhou'. Dva prostřední výrazy se vykrátí, 'i na druhou' se rovná -1. Takže máme 'x na druhou' minus '-1 y na druhou'. Odčítání negativního čísla je stejné jako sčítání kladného, takže celé se to zjednoduší na 'x na druhou' plus 'y na druhou'. Doufám, že teď už oceníte použití imaginární jednotky i, díky které tento výraz můžete vyjádřit jako dvě komplexní čísla.
video