Pokročilé výrazy s proměnnými
Přihlásit se
Pokročilé výrazy s proměnnými (10/10) · 7:32

Nedefinované a neurčité výrazy Ukážeme si, za jakých okolností můžeme místo nedefinovaného výrazu hovořit o výrazu neurčitém.

Navazuje na Výrazy s proměnnou.
Znovu si představte sebe jako nějakého dávného filozofa / matematika, který se snaží rozšířit matematiku co nejvíce se dá a také se snaží nebýt líný a nenechává věci nedefinované, pokud se definovat dají. Když se rozhodnete rozšířit matematiku, zvláště v oblasti násobení a dělení, je pár věcí, kterých se musíte držet. Pokud definujete nějakou operaci používající dělení, musí se dát odčinit násobením, to si držíte u srdce. Takže předpokládáte… Chcete předpokládat… Předpokládáte, že při jakémkoli druhu dělení, pokud začnete s nějakým číslem a vydělíte jej číslem, pro které je dělení definováno, takže pokud vydělím nějakým číslem a pak vynásobím tím samým, tak bych měl dostat původní číslo, které mám tady, měl bych dostat x. A toto se stane pouze tehdy, když násobíme a dělíme běžnými čísly. Pokud mám 3 děleno 2 krát 2, dostanu 3. Mám-li, řekněme, 10 děleno 5 krát 5, dostanu 10. Další věcí, kterou chci předpokládat, a toho se velmi držím, cítím, že jakákoliv moje definice musí souhlasit s tím, že x krát 0 musí být 0 pro jakékoliv x. Takže tohoto se držím. Pokud chci rozšířit matematiku, tyto dvě věci jsou věci, které nemohou být v rozporu, nemohou být nepravdivé. Nyní, když to máte ujasněno, chcete začít zkoumat otázku dělení nulou. První věc, kterou si řeknete je „Nejprve to zkusím definovat.“ Tak začněme, předpokládejme, že máme, takže… Udělejme širší předpoklad, že x je nějaké nenulové číslo. Řekněme, že nejlepší způsob jak zjistit, čemu by se mělo rovnat x děleno 0, jak jej definovat, je předpokládat, že je definováno a pak se dostaneme k výsledkům, které budou nebo nebudou sedět. Řekněme tedy, že x děleno 0 se rovná 'y'. Použiji jiné označení, aby se to nemátlo s těmi nahoře. Řekněme, že se to rovná 'k'. Pokud je to pravda a pokud definujeme, co znamená dělit nulou, pak předpokládáme, že budeme-li násobit nulou, dostaneme naše původní číslo. To je něco, co nejsme ochotni porušit. Tak se podívejme, co se stane. x děleno 0 se rovná k. Na levé straně dělíme nulou a násobíme nulou. Jsou-li 2 věci stejné a jedné něco udělám, aby byly stejné, musím to udělat i druhé. Tohle se musí rovnat tomuto. Musím vynásobit levou i pravou stranu nulou. Podle tohoto předpokladu, kterého se nehodlám vzdát, levá strana se musí rovnat x. A podle tohoto předpokladu, kterého se nehodlám vzdát, tato pravá strana se musí rovnat 0. Právě jsem dostal spor! Předpokládal jsem, že x se nerovná 0, ale jsem nucen říci, že x je rovno 0. A já nejsem ochoten vzdát se ani jedné této myšlenky. Nejsem ochoten vzdát se myšlenky, že pokud definuji, co znamená dělit nulou… …nebo pokud definuji, co znamená dělit čímkoli, pokud to pak vynásobím tímtéž, měl bych dostat původní číslo. Nejsem ochoten vzdát se myšlenky, že cokoli krát 0 je 0. Ze všech těchto věcí, jediná věc, které se mohu vzdát, je právě toto zde. A řeknu si, že 'k' asi bude muset zůstat nedefinované. Tento celý spor jsme dostali, neboť jsem se snažil definovat x děleno 0. Teď, když jsme toto vyřešili… To byla situace, kdy se x nerovnalo nule. Ale co když se x rovná nule. Popřemýšlejme teď chvíli o tom. A opět se to pokusíme definovat. Takže budu předpokládat, že 0 lomeno 0 se rovná nějakému číslu. Tak řekněme, že je to znovu 'k'. A opět jdeme podle stejné logiky, takže napíšeme, že 0 lomeno 0 se rovná k. Vlastně ty nuly vybarvím. Tato 0 bude fialová a tato modrá. A znovu se nechci vzdát myšlenky, že pokud začnu s 'x', vydělím ho něčím, pro co je dělení definované, a pak ho tím znovu vynásobím, dostanu své původní x. Tohoto se nesmím vzdát, jinak nemám dobrou definici pro dělení. Takže vynásobím levou stranu nulou, a podle této vlastnosti, které se nechci vzdát, levá strana se zjednoduší na tuto fialovou nulu. Měla by se zkrátít na toto zde. Cokoliv udělám s jednou stranou rovnice, aby platila rovnost, musím udělat i s druhou. Jestliže se rovnaly předtím, každou operaci, kterou udělám zde, aby platila rovnost, musím provést i zde. Takže vynásobíme pravou stranu nulou. Na levé straně dostávám 0, tuto fialovou nulu a na pravé bych mohl napsat tuto nulu, ale ještě to nezjednoduším. Dostanu k krát 0. Teď vidím, že vlastně nedostávám spor. Platí to pro každé k, je to jeden z klíčových předpokladů, které jsem udělal v mé matematice, kterého se nechci vzdát. Takže toto platí…napíšu to tučně… Tohle platí pro každé k. Nemám spor. Ale problém je, že chci dostat k. Chci výsledek pro k. Bylo by hezké, kdyby to bylo 0 nebo 1 nebo -1. Ale teď vidím, za těchto předpokladů nahoře, že to může být absolutně jakékoliv 'k'. Nemohu určit, jaké 'k' by to mělo být. Může to být 100 tisíc, může to být 75, může to být cokoliv. Platí to pro každé 'k'. Nemohu určit, jaké 'k' by to mělo být. Proto, až budete znát nuance… V začátcích matematiky, lidé budou říkat, nula děleno nulou, nevíme co to bude, není žádná konzistentní odpověď, budeme to tedy považovat za nedefinované. Není žádná odpověď, která by byla lepší než jiné. Ale teď vidíme malé nuance, 1 děleno nulou, to jsme nemohli definovat, vedlo to k přímému sporu. 0 děleno nulou, to by mohlo být cokoliv. Nemůžeme to rozhodnout. A proto, až se dostanete k vyšší úrovni matematiky, často to uslyšíte v matematické analýze, Říkáme, že nula lomeno nulou je neurčitý výraz.
video