Lomené výrazy
Přihlásit se
Lomené výrazy (1/13) · 15:23

Zjednodušování lomených výrazů Pojďme si vysvětlit, jak funguje krácení zlomků. Nejdříve musíme rozložit na součin čitatel i jmenovat a poté hledat shodné členy. A nesmíme zapomenout na podmínky.

Navazuje na Rozklad mnohočlenů.
Když jsme se začali učit o zlomcích a racionálních číslech, naučili jsme se, jak je krátit na základní tvar. Takže když jsme viděli 3/6, věděli jsme, že čísla 3 a 6 mají společného dělitele. Víme, že čitatel je 3, ale 6 můžeme zapsat jako 2 krát 3. A jelikož tedy mají společného dělitele, v tomto případě číslo 3, můžeme vydělit čitatel i jmenovatel 3 nebo můžeme říct, že to jsou 3/3 a ty se navzájem vykrátí. V základním tvaru by se tento zlomek rovnal 1/2. Abychom si to ujasnili, kdybychom měli 8/24, víme opět, že je to to samé jako 8 lomeno 3 krát 8 a to je stejné jako 1 lomeno 3 krát 8 lomeno 8. Čísla 8 se vykrátí a my dostaneme zlomek v základním tvaru, 1/3. Stejný postup využijeme u lomených výrazů. Toto jsou racionální čísla. Lomené výrazy jsou v podstatě stejné, ale kromě čísel obsahují čitatel a jmenovatel také proměnné. Ukážu vám, o čem mluvím. Řekněme, že máme 9x plus 3 lomeno 12x plus 4. Čitatel můžeme rozložit. Můžeme vytknout číslo 3. Toto se rovná 3 krát 3x plus 1. To je náš čitatel. A ve jmenovateli můžeme vytknout 4. Toto je stejné jako 4 krát 3x... 12 děleno 4 jsou 3. 12x děleno 4 jsou 3x. Plus 4 děleno 4, což je 1. Takže tady, stejně jako tam, mají čitatel a jmenovatel společného dělitele. V tomto případě je to 3x plus 1, lomený výraz s proměnnou. Není to sice číslo, ale můžeme to udělat stejně. Tyto výrazy se vykrátí. Pokud bychom tedy vyjádřili tento lomený výraz v základním tvaru, řekli bychom, že je roven 3/4. Pojďme na další příklad. Řekněme, že máme x²... Takže máme x² minus 9 lomeno 5x plus 15. Takže čemu se tohle bude rovnat? Čitatel můžeme rozložit. Je to rozdíl dvou druhých mocnin. Dostaneme x plus 3 krát x minus 3. A ve jmenovateli můžeme vytknout 5. Takže to je 5 krát x plus 3. Takže máme společného dělitele čitatele a jmenovatele, můžeme je vykrátit. Na tohle jsme narazili už v předchozích videích. Musíme si dát pozor. Můžeme je vykrátit. Můžeme říct, že toto se bude rovnat x minus 3 lomeno 5, ale musíme vyloučit ty hodnoty x, po jejichž dosazení by jmenovatel byl 0. Takový výraz by se pak stal nedefinovaným. Toto tedy můžeme napsat jako x minus 3 lomeno 5, ale x se nesmí rovnat -3. Po dosazení -3 by toto bylo rovno 0 a toto celé také. Takže toto se rovná celému tomuto výsledku. Toto není rovno tomuto, protože toto je definováno pro x rovná se -3, ale toto není definováno pro x rovná se -3. Aby byly tyto výrazy stejné, musím zde přidat tu dodatečnou podmínku, že x se nesmí rovnat -3. Takže podobně zde, pokud by to byla funkce, řekněme, y se rovná 9x plus 3 lomeno 12x plus 4 a chtěli bychom ji zakreslit do grafu, po zjednodušení by nás to lákalo... Tak jsme vykrátili 3x plus 1 v čitateli a jmenovateli. Vykrátí se. Láká nás to říct, že toto je stejný graf, jako když y je rovno konstantě 3/4 což je pouze vodorovná čára v bodě y rovná se 3/4. Ale musíme přidat jednu podmínku. Musíme vyloučit ty hodnoty x, které by způsobily, že by se toto rovnalo 0, a to by nastalo, pokud by se x rovnalo -1/3. Kdyby se x rovnalo -1/3, tento i tento jmenovatel by se rovnali 0. I tady bychom tedy museli říct, že se x nesmí rovnat -1/3. Tato podmínka je to, co skutečně dělá toto rovno tomu. Že x se nesmí rovnat -1/3. Pojďme na pár dalších příkladů. Budu je psát růžovou. Řekněme, že máme x² plus 6x plus 8 lomeno x² plus 4x. Nebo ještě lépe, trochu to předělám, x² plus 6x plus 5 lomeno x² minus x minus 2. Chci opět rozložit čitatele a jmenovatele, tak jak jsme to dělali s klasickými čísly, když jsme se poprvé učili o zlomcích v základním tvaru. Když rozkládáme čitatel, jaká dvě čísla po vynásobení dávají 5 a po sečtení 6? Napadla mě čísla 5 a 1. Čitatel se tedy rovná (x plus 5) krát (x minus 1). A poté jmenovatel, opět dvě čísla. Po vynásobení -2 a po sečtení -1. Napadly mě -2 a 1. Aha, toto je plus 1, že? (x plus 5) krát (x plus 1), že? 1 krát 5 je 5, 5x plus 1x je 6x. Takže tady máme plus 1 a -2. Tedy (x minus 2) krát (x plus 1). Máme tedy společného dělitele čitatele a jmenovatele. Ty se navzájem vykrátí. Mohli bychom říct, že toto je rovno x plus 5 lomeno x minus 2. Ale aby se opravdu rovnaly, musíme přidat podmínku. Podmínku, že x se nesmí rovnat -1. Protože kdyby se x rovnalo -1, tento výraz by byl nedefinovaný. Musíme přidat podmínku, protože tento výraz samotný je definován v bodě x je rovno -1. Mohli byste tady dosadit -1 a dostanete výsledek. Ale toto není definováno pro x rovno -1, takže musíme přidat tuto podmínku, aby se toto skutečně rovnalo tomuto. Pojďme na něco těžšího. Řekněme, že máme 3x² plus 3x minus 18 lomeno 2x² plus 5x minus 3. Vždy je těžší rozložit výraz obsahující proměnné s koeficientem jiným než 1, ale my už to umíme. Můžeme to vyřešit seskupováním a tento příklad se na to hodí, tak pojďme na to. Takže, pojďme rozložit 3x² plus 3x minus 18. Hledáme dvě čísla. Jen si zopakujeme seskupování. Hledáme dvě čísla, která po vynásobení dávají 3 krát -18, tedy -54, že? To je 3 krát -18. A když je sečteme, a plus b se musí rovnat 3x, protože pak budeme dělit 3x na ax a bx. Nebo ještě lépe, ne 3x, ale rovno 3. Jaká dvě čísla by to mohla být? Podívejme se na tabulky násobků. Liší se od sebe o tři. Jedno bude kladné a jedno záporné. 9 krát 6 je 54. Pokud bude číslo 9 kladné a ‚b‘ bude -6, tak to vyjde. 9 minus 6 je 3. 9 krát -6 je -54. Takže můžeme toto nahoře přepsat. Můžeme to napsat jako 3x² plus, řekněme, 9x minus 6x minus 18. Všímněte si, že jsem jenom rozdělil 3x na 9x minus 6x. Tento a tento výraz se liší jen tím, že jsem rozdělil 3x na 9x minus 6x. Ty sečtete dohromady a dostanete 3x. V tomto zápisu vlastně můžeme ignorovat ty závorky. A udělal jsem to proto, abych to teď mohl seskupit. Normálně je to na mně, který výraz dám ke kterému, v závislosti na jejich znaménku nebo společném děliteli. Obě dvě čísla mají společného dělitele s číslem 3. Tady je to pravděpodobně jedno, ale mně se líbí číslo 9 na této straně, protože jsou obě kladné. Takže pojďme vytknout 3x z tohoto výrazu na levé straně. Když vytkneme 3x z tohoto výrazu, dostaneme 3x krát x plus 3. A potom u tohoto výrazu, když vytkneme -6, dostaneme -6 krát x plus 3. A teď je očividné, že naše seskupení bylo úspěšné. Tohle je stejné jako, když to trochu upravíme, 3x minus 6 krát x plus 3. Kdybychom tímto vynásobili každý z těchto výrazů, dostaneme to, co je tady. Takže ten horní výraz můžeme přepsat jako 3x mínus 6, napíšu to stejnou barvou. Můžeme to přepsat jako 3x minus 6 krát x plus 3. To je tento výraz. Ať to nevypadá jako znaménko minus. To je tento výraz. Teď pojďme rozložit tady tu spodní část. Trochu to posunu doleva. Když chci rozložit 2x² plus 5x plus 3, musím najít dvě čísla, jejichž součin je 2 krát 3, což je 6, a jejich součet musí dávat 5. Dvě zřejmá čísla jsou 2 a 3. Můžu toto nahoře přepsat jako 2x² plus 2x plus 3x plus 3. Když tady vložím závorky... Rozhodl jsem se seskupit tuto 2 s touto 2, protože mají společného dělitele 2, a seskupit tu 3 s touto, protože mají společného dělitele 3. Tady to jsou čísla 2 a 3. Tady můžeme vytknout 2x. Pokud vytkneme 2x, dostaneme 2x krát x plus 1 plus, vytkneme tady číslo 3, plus 3 krát x plus 1. A naše seskupení bylo úspěšné. Toto je zcela zřejmě, jen změním barvu, toto je stejné jako 2x plus 3 krát x plus 1. Takže tady jsme to také zvládli rozložit. Zvládli jsme rozložit i jmenovatel. Teď jsem si uvědomil, že jsem tady udělal chybu. Napsal jsem tady minus 3. A tady jsem psal plus 3. Trochu se vrátím ve výpočtu. To by byla strašlivá chyba. Musel bych to video udělat znovu. Toto všechno vymažu, všechny tyto výpočty. Všechno to vymažu. Toto je 2x² plus 5x minus 3. Takže ještě jednou, a krát b se má rovnat -3 krát 2, tedy -6. A a plus b musí být rovno 5. Vypadá to, že když zvolíme 6 a -1, tak to bude správně. 6 minus 1 je 5. 6 krát -1 je -6. To by byla hrozná chyba. Toto můžeme přepsat jako 2x², které teď seskupím s 6, protože mají společného dělitele. Plus 6x minus x, což je stejné jako 5x, minus 3. Jen jsem musel najít ta čísla, na která těch 5x rozdělím. Ale 6x minus x je 5x. A pokud sem vložím nějaké závorky, můžu vytknout 2x z tohoto prvního výrazu. Dostanu 2x krát x plus 3. A tady můžu vytknout -1, takže dostanu -1 krát x plus 3. Teď je naše seskupení úspěšné. Dostaneme, napíšu to jinou barvou, dostaneme 2x minus 1 krát x plus 3. Takže náš jmenovatel tady je roven 2x minus 1 krát x plus 3. A zase máme společného dělitele v čitateli a jmenovateli, a to (x plus 3). Ale musíme přidat podmínku, že x se nesmí rovnat -3, protože pak by se toto celé rovnalo 0. Nerovnalo 0, museli bychom dělit 0, což je nedefinováno. Musíme tedy říct, že x se nesmí rovnat -3. Takže tento výraz nahoře je stejný jako 3x minus 6 lomeno 2x minus 1, s podmínkou, že x se nesmí rovnat -3. Doufám, že vám to přišlo zajímavé.
video