Lomené výrazy
Přihlásit se
Lomené výrazy (4/13) · 6:42

Zjednodušování lomených výrazů 3 Zde máme zlomek, který v čitateli i jmenovateli obsahuje složitější mnohočlen. Naším úkolem je rozložit oba na součin a zlomek následně zjednodušit.

Navazuje na Rozklad mnohočlenů.
Zjednodušte lomený výraz a určete jeho definiční obor. Máme opět trojčlen lomeno trojčlen. Abychom je mohli zjednodušit, musíme je rozložit. To nám také pomůže s určováním definičního oboru. Definiční obor tvoří všechny přípustné hodnoty x, které můžu dosadit do tohoto výrazu, aniž bych dostal něco, co není definováno. Pojďme tedy rozložit čitatel a jmenovatel. Začněme s čitatelem. Jelikož máme vepředu 2, rozklad pomocí seskupování bude pravděpodobně nejlepší. Takže to pojďme přepsat. Teď pracuji s čitatelem. 2x² plus 13x plus 20. Potřebujeme najít dvě čísla, "a" a "b", která po vynásobení a krát b budou rovna, napíšu to tady napravo. a krát b se musí rovnat 2 krát 20, tudíž to bude rovno plus 40. A také se a plus b musí rovnat 13. Čísla, která mě okamžitě napadla, jsou 5 a 8, je to tak? 5 krát 8 je 40. 5 plus 8 je 13. Těch 13x můžeme rozdělit na 5x a 8x, takže tohle můžeme přepsat jako 2x²... Rozdělím těch 13x, napíšu nejprve 8x a pak plus 5x. Těch 8x jsem napsal jako první, protože má společného dělitele s 2. Takže možná můžeme rozložit ty 2x. Trochu to zjednoduším. 5 a 20 mají společného dělitele. Takže se na to podívejme. Nakonec tady máme plus 20 a teď je můžeme seskupit. To je celá podstata seskupování. Nejdříve seskupíme tyto dva první členy. Vytkneme 2x, takže dostaneme 2x krát... 2x² děleno 2x se bude rovnat jen x. 8x děleno 2x bude plus 4. A teď pojďme seskupit tyto dva členy. A pokud vytkneme číslo 5, co dostaneme? Dostaneme plus 5 krát x plus 4. 5x děleno 5 se rovná x, 20 děleno 5 je 4. Máme x plus 4 v obou případech, takže to můžeme vytknout. Máme x plus 4 krát dva výrazy. Můžeme to poupravit. Toto tady bude x plus 4 krát, napíšu to stejnou barvou, 2x plus 5. Tím jsme rozložili tento výraz v čitateli. Teď to uděláme stejně se jmenovatelem. Napíšu to jinou... Nechci, aby mi došly barvy. Ten jmenovatel máme tady. Uděláme to úplně stejně. Máme 2x² plus 17x plus 30. Hledáme "a" a "b". Když je vynásobím, dostanu 2 krát 30, což je 60. A pak a plus b, když je sečtu, dostanu 17. Čísla 5 a 12 by měla fungovat. Takže to pojďme rozdělit. Rozdělíme to na 2x²... Těch 17x rozdělíme na 12x plus 5x, což po sečtení dává 17x. Když vynásobíme 12 krát 5, dostaneme 60. A pak plus 30. Potom u tohoto prvního seskupení můžeme vytknout 2x. Takže pokud vytkneme 2x, dostaneme 2x krát x plus 6. U toho druhého seskupení vytkneme 5, takže dostaneme plus 5 krát x plus 6. Teď můžeme vytknout x plus 6 a dostaneme x plus 6 krát 2x plus 5. Rozložili jsme čitatel i jmenovatel. Přepíšeme oba tyto výrazy, přepíšeme celý tento lomený výraz s rozloženým čitatelem a jmenovatelem. Čitatel se bude rovnat x plus 4 krát 2x plus 5. To jsme zjistili tady. A jmenovatel je x plus 6 krát 2x plus 5. Asi jste si už všimli, že máme 2x plus 5 v čitateli i jmenovateli, takže je můžeme vykrátit. A pak je vykrátíme. Ale ještě předtím se podívejme na druhou část tohoto zadání. Určete definiční obor. Jaké jsou ty přípustné hodnoty x, které tady můžeme dosadit? Nebo spíše které hodnoty x by způsobily, že by byl tento lomený výraz nedefinován? Jsou to ty hodnoty x, které by způsobily, že by se jmenovatel rovnal 0. A kdy se bude jmenovatel rovnat 0? Když buď x plus 6 bude rovno 0, nebo 2x plus 5 bude rovno 0. Vyřešíme to pro toto x. Na obou stranách odečtěme 6 a dostaneme x se rovná -6. Když tady na obou stranách odečteme 5, dostaneme 2x se rovná -5. Vydělíme obě strany 2. Dostaneme x se rovná -5/2. Můžeme říct, že definiční obor... Napíšu to sem. Definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě x se rovná -6 a x se rovná -5/2. Tyto hodnoty musíme vyloučit, protože by způsobily, tady i tam, že by se jmenovatel rovnal 0 a celý lomený výraz by byl nedefinovaný. Určili jsme definiční obor. Pojďme teď zjednodušit ten lomený výraz. Již jsme si řekli, že x se nesmí rovnat -5/2 nebo -6. Vydělme tedy čitatel a jmenovatel výrazem 2x plus 5. Nebo když se podíváme na to 2x plus 5, víme, že 2x plus 5 nebude 0, protože x se nebude rovnat -5/2, takže je můžeme vykrátit. Ten zjednodušený lomený výraz je tedy x plus 4 lomeno x plus 6.
video