Lomené výrazy
Přihlásit se
Lomené výrazy (5/13) · 5:53

Zjednodušení lomeného výrazu: mocniny vyššího stupně Další ze série podobných příkladů na zjednodušování zlomků. Znovu máme rozložit mnohočleny v čitateli a jmenovateli na součin a zkrátit shodné členy.

Navazuje na Rozklad mnohočlenů.
Podívejme se, zda dokážeme zjednodušit tento výraz. Zastavte video a zkuste si to, potom to uděláme společně. Dobrá, když se podíváte na tohle, vypadá to, že čitatel i jmenovatel se dají nějak rozložit a možná mají společné dělitele, kterými by šel vydělit čitatel i jmenovatel, aby se výraz zjednodušil. Pojďme nejdřív rozložit čitatel. x na čtvrtou plus 8 krát x na druhou plus 7. Možná to zprvu vypadá děsivě, protože tam máme x na čtvrtou. Není to kvadratický, ale polynom dokonce čtvrtého stupně. Ale stejně jako se vším, pokud máte rádi kvadratické výrazy, se kterými jsme se dříve potkali, zdá se, že je tady jistý vzor. Například pokud by tohle bylo x na druhou plus 8x plus 7, řekli bychom si, že je to snadné, tohle rozložit. Která dvě čísla dávají součet 8 a jejich součin je 7? No, jsou pouze dvě čísla, jejichž součin je 7, vyjde kladné číslo 7, navíc obě musí být kladná, pokud mají dát v součtu 8, jsou to 1 a 7. Takže tohle bude x plus 7 krát x plus 1. Pokud se nad tím zamyslíte, místo přemýšlení nad x a x na druhou nahradíte za x na druhou a x na čtvrtou, vyjde nám přesně totéž. Tahle věc se dá napsat jako x na druhou plus 7 krát x na druhou plus 1. Pokud chcete, dá se to provést jako substituce. Řekněme, že ‚a‘ se rovná x na druhou. V tom případě, pokud ‚a‘ se rovná x na druhou, pak tento výraz bude ‚a‘ na druhou plus 8a plus 7. Následně rozložíme na ‚a‘ plus 7 krát ‚a‘ plus 1 a vrátíme substituci, vychází x na druhou plus 7 krát x na druhou plus 1. Snad je vidět, o co tady jde, toto je výraz s vyšší mocninou, my snížíme její stupeň na polovinu, aby sedla na náš vzorec. A tedy se dá udělat substituce, nebo si lze všimnout, že místo x na druhou se budeme zabývat x na čtvrtou. Dobrá, tak to je čitatel. Nyní se zamysleme, co se dá dělat se jmenovatelem. Takže ve jmenovateli jsou oba výrazy dělitelné 3x. Pojďme vytknout 3x. To bude 3x krát, pokud vytkneme 3x, máme 3 děleno 3 je 1, x na pátou děleno x je x na čtvrtou. A pokud vytkneme 3x odsud, zůstane nám 1. Pořád to ještě nevypadá užitečně. Nevidíme x na čtvrtou minus 1, případně 3x v čitateli, ale možná lze vytknout více z x na čtvrtou minus 1. A to proto, že je to rozdíl druhých mocnin. Můžete navrhnout, že doposud jsme používali rozdíl mocnin pouze pro ‚a‘ na druhou minus 1, což se rozepsalo jako ‚a‘ plus 1 krát ‚a‘ minus 1. No ale tohle bude také ‚a‘ na druhou minus 1, pokud za ‚a‘ vezmeme x na druhou. Potom tohle bude ‚a‘ na druhou minus 1. Pojďme to přepsat. Jdeme rozepisovat. Tohle všechno se bude rovnat, stejnému čitateli, pojďme to napsat zeleně. Stejný čitatel. x na druhou plus 7, to už nejde dále rozložit, krát x plus 1, také nelze rozložit, to celé lomeno 3x, tohle je ovšem rozdíl druhých mocnin. Toto je x na druhou na druhou, tohle je očividně 1 na druhou. Takže vyjde x na druhou plus 1 krát x na druhou minus 1. Nyní máme x na druhou v čitateli, x na druhou minus 1 v čitateli, totiž pardon, x na druhou plus 1 v čitateli, x na druhou plus 1 ve jmenovateli. Takže je mohu pokrátit. A zůstane nám v čitateli x na druhou plus 7 lomeno 3x krát x na druhou minus 1. Nyní už to vypadá snadně a musíme být opatrní, protože vždycky když zkracujeme, chceme se ujistit, že omezení pro všechna x, tak jak byla definována na začátku, musí být ekvivalentní s výsledným výrazem. Takže tento výraz bude rozhodně nedefinovaný pro x rovno 0, x se nesmí rovnat ani 1 ani -1. Pro 1 nebo -1 se tento výraz bude rovnat 0, ale nesmí se rovnat 0. x se nesmí rovnat 1 ani -1, které by nám způsobily 0 zde. Ale tato část, tahle, pokud předpokládáme, že pracujeme s reálnými čísly, pak se nemůže nikdy rovnat 0. Při práci s reálnými čísly, protože x na druhou je vždycky nezáporné, a přičítáme kladné číslo, takže tahle část součinu bude vždycky definovaná, nenulová. Takže ji můžeme vytknout nebo pokrátit, aniž bychom se o to museli starat. Takže toto je ekvivalentní našemu původnímu výrazu. Nyní můžeme napsat omezení, která máme. Kdyby se někdo ptal, pro která x není výraz definovaný, tak určitě není definovaný pro taková x, pro která by byl jmenovatel 0, protože dělení 0 není definované. Nebo také pro x rovno 1 nebo -1, což by způsobilo 0 ve jmenovateli. To vyplývá přímo z tady toho výrazu, takže náš upravený i ten původní výraz jsou ekvivalentní. Pokud chcete, dá se ještě roznásobit jmenovatel, tohle se dá vynásobit mezi sebou. Takže to se rovná, x na druhou plus 7 lomeno 3x krát x na druhou je 3x na třetí, minus 3x. Takže tohle je ekvivalentní výraz a my jsme hotovi.
video