Lomené výrazy
Přihlásit se
Lomené výrazy (6/13) · 6:11

Zjednodušování lomeného výrazu se dvěma proměnnými Situace se nám lehce komplikuje. Sice zadání je stále stejné, je třeba zjednodušit zlomek, nyní však obsahuje hned dvě proměnné: x, y.

Navazuje na Rozklad mnohočlenů.
Podíváme se, zda dokážeme zjednodušit tento výraz a jako vždy, zastavte si video a zkuste si to sami. Tento výraz je zajímavý, protože obsahuje dvě proměnné, ale pořád nám stačí stejné úvahy jako předtím, když jsme rozkládali výrazy s jednou proměnnou. Například tady, v čitateli, nikdy se mi nelíbilo, mít koeficient jiný než 1 u výrazu s proměnnou na druhou. Chci říct, občas to tak prostě je, ale tentokrát to vypadá, že všechny výrazy se dají dělit 5, takže pojďme nejdřív vytknout 5. Tedy čitatel mohu přepsat, jako 5 krát, 5 krát, ze zbytku vytkneme 5, zbude nám x na druhou. Tady taky vytkneme 5, vyjde nám 4. Vlastně bych to mohl přepsat na 4yx, vzápětí uvidíte, proč to dělám. Řeknu vám proč, povím vám, proč to teď dělám, proč píšu y sem. Je to pro to, že nyní je vidět vzorec, tak jak to míváme u kvadratických rovnic. Koukneme na to. Takže máme x na druhou plus 4yx, dá se říci, že 4y je koeficient u x na prvou, u tady toho x na prvou, plus 4y na druhou. A to celé je lomeno... Tady máme jmenovatel, můžeme něco vytknout? Jen se nad tím zamysleme. Známe dvě čísla, tedy spíš bych měl říci dva výrazy, které když vynásobíme, vyjde -6y na druhou a když je sečteme, vyjde -xy? Pardon, když je sečteme, má vyjít -y. To je důvod, proč to rád píšu takhle. Raději to přepíšu. Je to totéž, jako -yx. Takže můžeme říci, že koeficient je tady -y. Když přemýšlíme nad dvěma čísly výrazu ‚a‘ krát ‚b‘, která se rovnají -6y na druhou, která když sečteme, ‚a‘ plus ‚b‘, vyjde výsledek -y. Můžete si představit, že obojí ‚a‘ i ‚b‘ budou nějaké výrazy. ‚a‘ i ‚b‘ budou nějaké výrazy obsahující y. Schválně, kdyby tohle bylo -1 a tohle -6, kolik by vyšlo? Vyšlo by -3 krát 2. Dále se podívejme, když budeme mít -3y a 2y, to skutečně dohromady bude -6y na druhou a -3y plus 2y bude v součtu -y. Takže to bude naše ‚a‘ a ‚b‘. Vypadá to trošku tajemně. Jak se tu proboha objevilo -2y, nebo -3y a 2y? Napíšu sem analogickou kvadratickou rovnici, která má jen jednu proměnnou. Kdybych měl x na druhou minus x minus 6 a měl za úkol rozložit tento výraz, tak tedy dobrá, máme -2. Je tu -3 krát 2 což se rovná -6. A pokud je sečtu, vyjde -1. Takže byste řekli, že bude vycházet x minus 3 krát x plus 2. Takže jediný rozdíl mezi tímto a tímhle je ten, že místo -1 máme -y. Místo -6 tady máme -6y na druhou. Tedy nad tím můžeme uvažovat jako -3y a 2y namísto samotného -3 a 2. Snad vám to dává smysl, ale pokud nedává, doporučuji si s tím trochu pohrát, roznásobit si tohle, na toto si trošku zvyknout... Teď když víme, že se to dá takhle rozložit, pojďme to přepsat. Tady bude x minus 3y krát x plus 2y. Zatím se nám tu ještě nic nezjednodušilo, ale vypadá to, že to co tu máme růžově, půjde dále upravit. Uděláme podobné úpravy, jako jsme dělali před chvílí. Které dva výrazy, když je vynásobíme, dávají dohormady 4y na druhou a při sečtení vyjde 4y? Vypadá to, že 2y by to měly zvládnout Tedy můžeme přepsat čitatel. Bude to... Tady udělám čáru, aby bylo jasné, že tohle se bude rovnat 5 krát (x plus 2y) krát... Dalo by se říci, že to je (x plus 2y) na druhou, případně (x plus 2y) krát (x plus 2y). Ještě jednou, 2y krát 2y je 4 y na druhou. 2y plus 2y je 4y. A to celé bude lomeno, tohle celé bude lomeno (x minus 3y) krát (x plus 2y). A nyní už máme společný dělitel, (x plus 2y) jak v čitateli tak jmenovateli. Takže si nyní poradíme s (x plus 2y) děleno (x plus 2y), protože to bude prostě 1, pokud tedy uvážíme, že x plus 2y se nerovná 0. A to je ve skutečnosti velmi zajímavé omezení, protože ve chvíli, kdy tohle pokrátíme, přijdeme o tuto informaci. Pokud chceme, aby oba výrazy byly ekvivalentní, musíme říci, že x plus 2y se nesmí rovnat nule. Nebo se také dá říci, že x se nesmí rovnat, x nesmí být rovno -2y. Jen jsem odečetl 2y od obou stran rovnice. A to co zbylo a můžeme to roznásobit 5, pokud to chceme mít v roznásobené formě. Můžeme to napsat jako, v čitateli bude 5x, to napíšu sem. 5x plus 10y. A jmenovatel je x minus 3y. Ještě jednou, jestli chceme, aby byly výrazy ekvivalentní, musíme říci, že x se nesmí rovnat, x se nesmí rovnat -2y, Nyní je tento výraz algebraicky ekvivalentní k původnímu výrazu a můžeme říci, že i zjednodušený.
video