Dělení lomených výrazů

Vydělte a vyjádřete jako zjednodušený zlomek. Určete definiční obor. Začínáme s tímto výrazem. Máme tu dělení jednoho racionálního výrazu druhým racionálním výrazem. Jako už jsme viděli několikrát předtím, tyto racionální výrazy nejsou definované, pokud se jejich jmenovatel rovná nule. Tedy p plus 5 se nesmí rovnat 0. Nebo když od obou stran odečteme 5... Neříkal bych tomu rovnice, spíše čemu se to nerovná... Odečteme 5 od obou stran, vychází že p se nesmí rovnat, tady se nám to pokrátí, -5. Tohle nám z toho vyplývá. Totéž se dá udělat zde s 4p plus 20. To se také nesmí rovnat 0. Pokud ano, výraz by nebyl definovaný. Odečteme 20 od obou stran. 4p se nesmí rovnat -20. Vydělíme obě strany 4. Takže p se nesmí rovnat -5. Tedy v obou výpočtech nám vychází, že pro hodnotu -5 by oba tyto výrazy nebyly definované. Definiční obor je taková množina, kdy p se rovná všem reálným číslům, ale nikoliv -5, tedy vlastně všem reálným číslům krom -5. Máme určený definiční obor, nyní pojďme zjednodušit výraz. Když dělíte zlomkem nebo racionálním výrazem, je to totéž, jako násobit převráceným zlomkem. Jenom to tedy přepíšu. (2p plus 6) lomeno (p plus 5) děleno 10 lomeno (4p plus 20), je totéž jako násobení převráceným zlomkem, násobit (4p plus 20) lomeno 10. Udělal jsem z dělení násobení a přetočil jsem zlomek takhle. Takže se to rovná (2p plus 6) krát (4p plus 20) v čitateli. Nechci až moc přeskakovat. Jen to napíši. (2p plus 6) krát (4p plus 20) v čitateli a potom (p plus 5) krát 10 ve jmenovateli. Nyní abychom viděli, za lze něco zjednodušit, musíme rozložit výrazy v čitateli i jmenovateli. V čitateli je (2p plus 6), dá se vytknout 2, takže (2p plus 6) přepíšeme jako 2 krát (p plus 3). A dále (4p plus 20), také se dá přepsat. Můžeme vytknout 4, tedy 4 krát (p plus 5). Potom máme (p plus 5) dole ve jmenovateli. Je tady (p plus 5). Můžeme to prostě sepsat sem dolů. Vlastně i 10, dá se rozložit na prvočíselný součin, prvočíselný rozklad. Rozložíme 10 na 2 krát 5. Což je totéž jako 10. Schválně, co půjde zjednodušit. Samozřejmě po celou tu dobu musíme připojovat podmínku, že p se nesmí rovnat -5. Toto omezení definičního oboru je nutné, abychom měli stále stejný výraz, jako ten, se kterým jsme začali. Co se nyní dá pokrátit? Máme tu 2 děleno 2. To se vykrátí. Je tady i (p plus 5) lomeno (p plus 5). Víme, že (p plus 5) se nerovná nule, kvůli našim podmínkám, takže to můžeme pokrátit. Co nám zbylo? V čitateli je 4 krát (p plus 3), ve jmenovateli je pouze zelená pětka a jsme hotovi! Mohli bychom to přepsat na 4 lomeno 5 krát (p plus 3), nebo tak, jako to máme zde. Akorát nesmíme zapomenout, že se musí přidat omezení, že p se nesmí rovnat -5, takže tento výraz je ekvivalentní tomuto původnímu.