Zjišťování koeficientu konkrétního členu binomického rozvoje Často nám z binomického rozvoje stačí pouze jeden konkrétní člen. Pojďme si ukázat, jak se k němu dostat.

Takže máme 3(y na druhou) plus 6(x na třetí). A mocníme to celé na pátou. A teď by se nám hodila binomická věta nebo Pascalův trojúhelník k nalezení rozšířené formy. Ale jako cvičení se chci zaměřit jen na jeden ze členů, a to přesněji na člen tvaru koeficient krát (x na šestou) krát (y na šestou). Takže v rozšíření, nějaký člen bude mít (x na šestou) a (y na šestou) A já chci zjistit, jaký koeficient u toho členu bude. A doporučuji vám zastavit tohle video a pokusit se zjistit výsledek bez pomoci. Takže předpokládám, že jste si to zkusili, a možná vám nejprve přišlo, že je to matoucí. Umocňuji to jen na pátou. Jak dostanu x na šestou, y na šestou? Ale pak když se kouknete na ty členy v dvojčlenu, začne to dávat smysl. Dobře, mám člen s (y na druhou) a mám člen s (x na třetí). Takže když to umocním, tak získám… Můžu dostat vyšší mocniny než tu pátou. Ale abychom zjistili, který ze členů bude mít (x na šestou)(y na šestou), pojďme se podívat na vzorec rozšíření bez přemýšlení nad koeficienty. A tohle už jsme několikrát viděli. Vezme se první člen dvojčlenu a začne se s umocněním na stejné číslo, na které chceme umocnit celý dvojčlen. A potom každý další člen bude mít nižší a nižší mocninu. Takže já tohle jen zkopíruju a vložím. Takže tohle bude, kopíruju, tohle je první člen, druhý člen… Mám tu dost místa? Druhý člen, třetí člen, čtvrtý člen, pátý člen a šestý člen, bude to mít šest členů. Vždy je členů o jedna více než číslo exponentu. A pak, ještě než tam exponenty napíšu, se soustřeďme na druhý člen. Takže druhý člen… Napíšu to takhle. Násobím to druhým členem, tedy 6(x na třetí). Tady to zkopíruju a vložím, ups. Zkopíruju to a vložím. Takže tohle dáme sem. Tohle sem. A tohle sem. A tohle sem. A potom tohle tam mimo vaši obrazovku. Napsal jsem to tam. Uvidíme, jestli tam budeme muset dojít. A teď přidejme exponenty. Tenhle exponent, to bude na pátou, na čtvrtou, na třetí, na druhou, na prvou a na nultou. A u modrého členu, u x na třetí, to bude na nultou, na prvou, na druhou, na třetí, na čtvrtou, a tady to pak budeme mít na pátou. A potom bude samozřejmě mít každý z nich před sebou koeficient. Každý před sebou bude mít koeficient. Takže bude koeficient před tímhle, před tímhle, před tímhle… …a pak je všechny sečteme. Ale o kterém z těchto členů jsme mluvili? Musí mít x na šestou, y na šestou. Tady máme x, když (y na druhou) umocníme na čtvrtou, tak to bude y na osmou, takže to není ono. Tady máme (y na druhou) umocněno na třetí, to je y na šestou, a tady je (x na třetí), to na druhou, což je x na šestou. Takže chceme vlastně přijít na to, jaký je koeficient u tohoto členu. Když to napíšete takhle, tak to bude v podstatě třetí člen. Takže jaký bude tento koeficient? Ujasníme si, tento koeficient… Cokoliv tu bude, na to použijeme binomickou větu, abychom na to přišli, ale nebude to rovno tomuto koeficientu, který hledáme… Opravdovým řešením, které hledáme, bude součin tohoto koeficientu a ostatních koeficientů, co tu máme. Protože budeme mít 3 na třetí, 6 na druhou. Budeme muset přijít na to, kolik to je. Ale nejdřív pojďme zjistit, jak vypadá tenhle koeficient. Co je vlastně ta žlutá část. A je tu pár způsobů, jak to udělat. Můžeme použít Pascalův trojúhelník nebo kombinatoriku. Použijeme-li kombinatoriku, víme, že tenhle koeficient bude 5 nad 0, to bude ten koeficient, a tenhle koeficient bude 5 nad 1. Už jsme to viděli několikrát. Můžete se na to dívat vlastně jako na "exponent nad tím vrškem". 5 je ten exponent, kterým mocníme celý dvojčlen, a říkáme "nad" tímto číslem, to je, řekněme, exponent u druhého členu. Takže tohle bude 5 nad 1. A tohle tady, ten koeficient, ta žlutá věc… To bude 5 nad 2. 5 nad 2. No a co je 5 nad 2? No to se rovná (5 faktoriál) děleno ((2 faktoriál) krát ((5 minus 2) faktoriál)). Takže to sem dám. Krát (5 minus 2) faktoriál. A tohle bude rovno… Podívejme se, 5 faktoriál je 5 krát 4 krát 3 krát 2, můžeme napsat i "krát 1", ale hodnotu to nezmění. Děleno 2 faktoriál. Vlastně to tam radši napíšu, aby bylo jasno, že tam je "krát 1". 2 faktoriál je 2 krát 1 a to, co máme zde, je 3 faktoriál, tedy 3 krát 2 krát 1. Takže tahle 3 se pokrátí s touhle 3. Tahle 2 se pokrátí s touhle 2 a na 1 nám nezáleží, to nezmění hodnotu. A potom 4 děleno 2 je 2. Takže je to jen 2, takže nám zbývá 5 krát 2, což je 10. Takže to bude tohle číslo. Tohle bude 10. Nebo jsme to mohli udělat pomocí Pascalova trojúhelníku. Mohli jsme říct dobře, tohle je ten dvojčlen, tady je, kdybychom to mocnili na druhou, protože tu jsou koeficienty 1, 2, 1. Když to mocním na třetí, koeficienty jsou 1, 3, 3, 1. Když to mocním na čtvrtou, koeficienty jsou 1, 4, 6, 4, 1. A když to mocním na pátou, což je to, co nás zajímá, tak máme koeficienty 1, 5, 10, 10, 5, 1. A víme, že když jdeme zleva, tak tohle bude třetí člen, takže to bude tenhle koeficient. Jedna, dva, tři, třetí člen. Takže každopádně víme, že tohle je 10. Teď zodpovězme původní otázku. Kolik bude tohle? Čím násobíme (x na šestou)(y na šestou)? A teď jen stačí přepsat tento výraz. Takže to bude 10 krát (3 na třetí) krát ((y na druhou), to na třetí), což je y na šestou. y na šestou. Krát (6 na druhou) krát ((x na třetí), to na druhou), což je x na (3 krát 2) neboli x na šestou, takže to bude rovno… Bude to 10 krát 27 krát 36 a pak máme samozřejmě naše x na šestou a y na šestou. Takže to bude, podívejme se na to, 270 krát 36, koukněme na to, vyndejme si kalkulačku. 270… Mohl jsem to udělat písemně, ale pro ušetření času to udělám takhle, 270 krát 36 je 9720. Takže to bude tenhle koeficient. Bude to 9720(x na šestou)(y na šestou). 9720(x na šestou)(y na šestou), a jsme hotovi.