Propojení binomické věty s kombinatorikou - důkaz Pokročilejší video, ve kterém si podrobně vysvětlíme, proč je binomická věta spojená s kombinatorikou, především s kombinačními čísly.

V tomto videu bych rád posílil vaši intuici o tom, proč binomická věta obsahuje kombinatoriku. Promysleme si, jak by vypadal rozklad tohoto. Používám jen konkrétní příklad, který je jednoduchý, (x plus y) na třetí. To je (x plus y) krát (x plus y) krát (x plus y). My už víme, jak tam členy vypadají. Můžeme vzít ,x' z každé závorky. Když vezmeme ,x' z každé závorky, tak nám to dá x na třetí. A nevybrali jsme si žádné ,y', protože z každé závorky jsme vzali ,x', když jsme násobením získali tento člen. Kolik je způsobů, jak toto dostat? Kolik je způsobů, pokud vybíráme ze tří věcí. Vybíráme z těchto členů, takže kolika způsoby můžeme vybrat nula ,y'? Na to je jen jeden způsob, jen jeden možný způsob. Jen ten, kde v žádné závorce nevybereme ,y' neboli v každé z nich vybereme ,x'. Koeficient tady je 1, 1(x na třetí). Je jen jeden způsob, když vezmeme tento součin, Jen jeden ze členů v roznásobení bude mít x na třetí. A teď co s dalším členem? Takže plus. Teď budeme zase vybírat ze tří závorek, ale chceme vybrat jedno ,y'. Další způsob, jak přemýšlet: Máte nebo máme tři lidi. Tohoto člověka, tohoto člověka a tohoto člověka. Jednoho z nich si vybereme, aby byl… Třeba aby byl náš kamarád. To je jiný způsob, jak říct, že vybíráme, z které závorky vzít ,y'. Je to stejné jako kombinatorický problém. Ze tří věcí vybíráme jednu, ze které chceme vzít ,y'. Samozřejmě 3 nad 1 je rovno 3. Když vybíráte jedno ,y', tak vlastně vybíráte dvě ,x' a berete součin toho všeho, takže to bude (x na druhou) krát (y na prvou). A takhle můžeme pokračovat, takže plus. Teď budeme přemýšlet nad situací, ve které vybíráme dvě ,y' ze tří závorek. Je to (x na prvou)(y na druhou). Začínáme se třemi věcmi a vybíráme dvě z těchto ,y', takže to může být tohle ,y' s tímhle ,y', aby vznikl ten součin. Může to být y krát y krát tohle x nebo y krát y krát tohle x nebo y krát x krát y. To je 3 nad 2, kolik je způsobů, jak ze tří věcí vybrat dvě? Pokud máte tři kamarády, kolika způsoby můžete vybrat dva do auta, když nezáleží, kde kdo sedí? Přemýšlíte, kolika různými kombinacemi si můžete vybrat, a zase to vychází 3. Takže konečně, kolika způsoby si z množiny tří věcí, ze tří různých věcí, takže z každého z těchto výrazů, kolika způsoby si můžeme vybrat přesně tři ,y'? No je tu jen jeden způsob, vyberete si tohle ,y', tohle ,y' a tohle ,y'. Pokud vybíráte tři ,y', tak to znamená, že vybíráte nula ,x'… A vybrali jste si tři ,y'. Proto se tu zabýváme kombinatorikou. 3 nad 3. Ze tří výrazů, ze tří dvojčlenů tady nahoře, které chceme násobit, musíme vybrat tři ,y', takže v každém musíme vybrat ten druhý člen. Na to je jen jeden způsob. Tady chcete vybrat druhý člen, člen ,y', ve dvou z nich, přesně ve dvou. Tady chcete vybrat člen ,y' přesně v jednom z nich. Na tohle je jeden způsob, na tohle jsou tři, pardon, na toto jsou tři způsoby, na toto taky, tady jeden způsob a na to jeden způsob. Tohle je 1, tohle je 3, když to vyhodnocujete a používáte ten vzorec pro n nad k. …a tohle je 1.